Calcule o limite, caso exista. Justifique
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
As informações dadas são:
- A expressão a ser estudada é a função
. - O ponto onde o limite é tomado é
. - O numerador é o polinômio
. - O denominador é o valor absoluto
, que é sempre não negativo e igual a se e igual a se .
Passo 2
Para entender o comportamento do numerador e do denominador separadamente:
- Numerador: polinômios são funções contínuas, então o limite do numerador quando
é o valor do polinômio em . Assim,
Logo, o numerador tende a
quando
.
- Denominador:
é sempre não negativo e, quando , temos e, mais precisamente, para . Ou seja, o denominador tende a por valores positivos.
Passo 3
A interpretação inicial do quociente é que temos algo que tende a
dividido por algo que tende a
. Isso sugere que o quociente tende a
(módulo muito grande e sinal negativo). Para justificar rigorosamente que o numerador permanece negativo e com módulo não muito pequeno nas proximidades de
, garantimos que nas proximidades de
o numerador é negativamente afastado de zero.
Como o numerador é contínuo e seu valor em é
, existe um intervalo em torno de
onde o numerador fica próximo de
. Em particular, existe
tal que, para
,
Como o numerador é contínuo e seu valor em
Essa desigualdade implica
então, para
, temos em particular
Ou seja: perto de
(exceto em
exatamente) o numerador é negativo e sua magnitude é pelo menos
.
Passo 4
Usando essa informação para estimar a razão e mostrar que ela diverge para
:
Se , então
e, usando que
,
Se
Para provar que a expressão tende a
, fazemos a definição usual: seja
(um número grande qualquer). Se escolhermos também
, então para
temos
Tomando
, para
obtemos
Isso mostra que, dado qualquer
, podemos fazer a expressão menor que
(aproximando
de
). Essa é a definição de que o limite é
.
Passo 5
Concluímos que a razão fica arbitrariamente negativa (com magnitude arbitrariamente grande) quando
se aproxima de
por qualquer lado. Portanto, o limite diverge para
. Em linguagem habitual: o limite não existe como número real, mas tem comportamento infinito negativo.