Calcule o limite, caso exista. Justifique
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-5 x-4}{|x-1|}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-5x-4}{|x-1|}
As informações dadas são:
  • A expressão a ser estudada é a função \displaystyle \frac{x^{2}-5x-4}{|x-1|}.
  • O ponto onde o limite é tomado é x\to 1.
  • O numerador é o polinômio \displaystyle x^{2}-5x-4.
  • O denominador é o valor absoluto \displaystyle |x-1|, que é sempre não negativo e igual a x-1 se x\ge 1 e igual a 1-x se x<1.

Passo 2

Para entender o comportamento do numerador e do denominador separadamente:
  • Numerador: polinômios são funções contínuas, então o limite do numerador quando x\to 1 é o valor do polinômio em 1. Assim,
1^{2}-5\cdot 1-4 = 1-5-4 = -8.
Logo, o numerador tende a -8 quando x\to 1.
  • Denominador: |x-1| é sempre não negativo e, quando x\to 1, temos |x-1|\to 0 e, mais precisamente, |x-1|>0 para x\neq 1. Ou seja, o denominador tende a 0 por valores positivos.

Passo 3

A interpretação inicial do quociente é que temos algo que tende a -8 dividido por algo que tende a 0^+. Isso sugere que o quociente tende a -\infty (módulo muito grande e sinal negativo). Para justificar rigorosamente que o numerador permanece negativo e com módulo não muito pequeno nas proximidades de x=1, garantimos que nas proximidades de x=1 o numerador é negativamente afastado de zero.
Como o numerador é contínuo e seu valor em 1 é -8, existe um intervalo em torno de 1 onde o numerador fica próximo de -8. Em particular, existe \delta_{1}>0 tal que, para 0<|x-1|<\delta_{1},
|x^{2}-5x-4 - (-8)| = |x^{2}-5x+4| < 4.
Essa desigualdade implica
-12 < x^{2}-5x-4 < -4,
então, para 0<|x-1|<\delta_{1}, temos em particular
x^{2}-5x-4 \le -4.
Ou seja: perto de 1 (exceto em 1 exatamente) o numerador é negativo e sua magnitude é pelo menos 4.

Passo 4

Usando essa informação para estimar a razão e mostrar que ela diverge para -\infty:
Se 0<|x-1|<\delta_{1}, então |x-1|>0 e, usando que x^{2}-5x-4\le -4,
\frac{x^{2}-5x-4}{|x-1|} \le \frac{-4}{|x-1|}.
Para provar que a expressão tende a -\infty, fazemos a definição usual: seja N>0 (um número grande qualquer). Se escolhermos também \delta_{2}=\dfrac{4}{N}, então para 0<|x-1|<\delta_{2} temos
\frac{-4}{|x-1|} < -N.
Tomando \delta=\min(\delta_{1},\delta_{2}), para 0<|x-1|<\delta obtemos
\frac{x^{2}-5x-4}{|x-1|} \le \frac{-4}{|x-1|} < -N.
Isso mostra que, dado qualquer N>0, podemos fazer a expressão menor que -N (aproximando x de 1). Essa é a definição de que o limite é -\infty.

Passo 5

Concluímos que a razão fica arbitrariamente negativa (com magnitude arbitrariamente grande) quando x se aproxima de 1 por qualquer lado. Portanto, o limite diverge para -\infty. Em linguagem habitual: o limite não existe como número real, mas tem comportamento infinito negativo.

Resposta

-\infty

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