Calcule o limite, caso exista. Justifique
\lim _{x \rightarrow-1^{+}} \frac{\ln (x+1)}{3 x+4}

Passo 1

O problema pede o valor do limite
\lim_{x\to-1^{+}} \frac{\ln(x+1)}{3x+4}.
Informações dadas/observações imediatas:
\text{quando }x\to-1^{+}\text{ temos }x+1\to 0^{+},
logo o numerador \ln(x+1) tende para -\infty (pois o logaritmo natural de um número que vai para 0^{+} diverge negativamente). Além disso,
3x+4 \xrightarrow[x\to-1]{} 3(-1)+4 = 1,
ou seja, o denominador tende para \,1, um número finito e não nulo.
A pergunta é: com o numerador indo para -\infty e o denominador indo para 1, qual é o comportamento do quociente?

Passo 2

Para tornar a análise mais clara, faço a substituição
t = x+1.
Essa é uma substituição padrão quando aparece \ln(x+1) e x\to-1^{+}, porque então
t\to 0^{+}\quad\text{quando}\quad x\to-1^{+}.
Reescrevendo a expressão em função de t: como x=t-1, temos
3x+4 = 3(t-1)+4 = 3t+1.
Portanto o limite a estudar é equivalente a
\lim_{t\to 0^{+}} \frac{\ln t}{3t+1}.

Passo 3

Vamos entender o comportamento do numerador \ln t quando t\to 0^{+}. Conceito/resultado usado: a função exponencial e^{y} é a inversa do logaritmo natural, portanto
\ln t \to -\infty \quad\text{quando}\quad t\to 0^{+}.
Uma justificativa simples: dado qualquer número grande positivo A, se 0<t<e^{-A} então \ln t < -A. Isso mostra que \ln t pode ficar arbitrariamente negativo quando t se aproxima de 0^{+}.

Passo 4

Agora o denominador: quando t\to 0^{+} temos
3t+1 \to 1,
portanto há um entorno de t=0 em que 3t+1 é positivo e fica, por exemplo, maior que \tfrac{1}{2}. Mais formalmente, existe \delta_{1}>0 tal que se 0<t<\delta_{1} então
3t+1>\tfrac{1}{2}.
Isto é útil porque garante que, perto de t=0, o denominador é positivo e não se aproxima de zero, então não inverte o sinal do numerador nem cria indeterminação do tipo \frac{-\infty}{0}.

Passo 5

Agora a prova formal de que o quociente tende a -\infty. Queremos mostrar que para todo número real negativo M (ou seja, para todo M<0) existe \delta>0 tal que, se 0<t<\delta, então
\frac{\ln t}{3t+1} < M.
Escolha M<0 arbitrário. Como vimos, existe \delta_{1}>0 com 3t+1>\tfrac{1}{2} sempre que 0<t<\delta_{1}. Então, para tais t,
\frac{\ln t}{3t+1} \le \frac{\ln t}{1/2} = 2\ln t.
Como \ln t \to -\infty quando t\to 0^{+}, existe \delta_{2}>0 tal que, se 0<t<\delta_{2}, então
2\ln t < M.
Tomando \delta = \min(\delta_{1},\delta_{2}), garantimos que para todo 0<t<\delta vale \frac{\ln t}{3t+1} < M. Isso prova exatamente que
\lim_{t\to 0^{+}} \frac{\ln t}{3t+1} = -\infty.
Voltando à variável original x, concluímos que
\lim_{x\to -1^{+}} \frac{\ln(x+1)}{3x+4} = -\infty.

Passo 6

Intuição numérica (só para você sentir a tendência): para x=-0,9 temos x+1=0,1, \ln(0,1)\approx -2{,}3026 e 3x+4=1{,}3, então o quociente vale cerca de -1{,}77. Para x=-0,99 temos x+1=0,01, \ln(0,01)\approx -4{,}6052 e 3x+4\approx 1{,}03, quociente cerca de -4{,}47. Você vê que conforme x se aproxima de -1 pela direita, o valor fica cada vez mais negativo, indo para -\infty.

Resposta

-\infty

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