[01] Dadas as funções
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -\frac{1}{x+1} & \text { se } x \leq 1, \\\ \sqrt{3 x-2} & \text { se } x>1, \end{array} \quad g(x)=\left\{\begin{array}{cl} 2^{3-2 x} & \text { se } x \leq 1 \\\\ -\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} x\right) & \text { se } x>1 \end{array}\right.\right.
Denotemos H(x)=f(x) g(x) (produto de f e g ).
(a) Calcule \lim _{x \rightarrow 1} f(x) e \lim _{x \rightarrow 1} g(x).
(b) Calcule \lim _{x \rightarrow 1} H(x) caso exista.

Passo 1

O enunciado dá as funções por partes
f(x)=\begin{cases} -\dfrac{1}{x+1}, & \text{se } x\le 1,\\[6pt] \sqrt{3x-2}, & \text{se } x>1, \end{cases} \qquad g(x)=\begin{cases} 2^{3-2x}, & \text{se } x\le 1,\\[6pt] -\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}x\right), & \text{se } x>1, \end{cases}
e define H(x)=f(x)g(x).
As perguntas são:
(a) Calcular \lim_{x\to 1} f(x) e \lim_{x\to 1} g(x).
(b) Calcular \lim_{x\to 1} H(x), caso exista.
Informações relevantes dadas: as fórmulas de f e g nos dois lados de x=1 (ou seja, as expressões para x\le1 e para x>1). Nada mais é pedido além dos limites em x\to1.]

Passo 2

Breve lembrete didático sobre limites laterais (um mini-aula): quando a função é definida por partes, para saber \lim_{x\to1} precisamos checar os dois limites laterais
\lim_{x\to1^-} (quando x se aproxima de 1 pela esquerda) e \lim_{x\to1^+} (quando x se aproxima de 1 pela direita). Se os dois existirem e forem iguais, então o limite comum é \lim_{x\to1}. Se forem diferentes, o limite geral não existe.
Também: se a expressão que define a função em um lado for uma função contínua naquele ponto (racional sem divisão por zero, exponencial, raiz bem definida, seno etc.), podemos simplesmente substituir x=1 na expressão para obter o limite lateral.

Passo 3

Calcular os limites laterais de f.
Para x\le1 temos \;f(x)=-\dfrac{1}{x+1}. Essa é uma função racional contínua para x\neq -1; em particular é contínua em x=1. Portanto
\lim_{x\to1^-} f(x)= -\frac{1}{1+1}= -\frac{1}{2}.
Para x>1 temos \;f(x)=\sqrt{3x-2}. A função raiz principal \sqrt{\cdot} é contínua onde o argumento é não negativo; em x=1 o argumento é 3\cdot1-2=1\ge0. Assim
\lim_{x\to1^+} f(x)=\sqrt{3\cdot1-2}= \sqrt{1}=1.

Passo 4

Conclusão sobre \lim_{x\to1} f(x).
Como \lim_{x\to1^-} f(x)=-\dfrac{1}{2} e \lim_{x\to1^+} f(x)=1, os limites laterais são diferentes. Logo o limite \lim_{x\to1} f(x) não existe.

Passo 5

Calcular os limites laterais de g.
Para x\le1 temos \;g(x)=2^{3-2x}. A função exponencial 2^{\text{(algo contínuo)}}í é contínua; basta substituir x=1:
\lim_{x\to1^-} g(x)=2^{3-2\cdot1}=2^{1}=2.
Para x>1 temos \;g(x)=-\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}x\right). A função \sin é contínua, então
\lim_{x\to1^+} g(x)=-\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\cdot 1\right)=-\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1.

Passo 6

Conclusão sobre \lim_{x\to1} g(x).
Como \lim_{x\to1^-} g(x)=2 e \lim_{x\to1^+} g(x)=-1, os limites laterais são diferentes. Logo \lim_{x\to1} g(x) não existe.

Passo 7

Calcular os limites laterais de H(x)=f(x)g(x) pela esquerda.
Para x\le1 usamos as fórmulas à esquerda: f(x)=-\dfrac{1}{x+1} e g(x)=2^{3-2x}. Então, para x\to1^-,
\lim_{x\to1^-} H(x)=\lim_{x\to1^-}\left(-\frac{1}{x+1}\cdot 2^{3-2x}\right).
Ambos os fatores são contínuos em x=1 (na parcela esquerda), portanto substituímos x=1:
\lim_{x\to1^-} H(x)= -\frac{1}{1+1}\cdot 2^{3-2\cdot1}= -\frac{1}{2}\cdot 2^{1}= -\frac{1}{2}\cdot 2 = -1.

Passo 8

Calcular os limites laterais de H(x)=f(x)g(x) pela direita.
Para x>1 usamos f(x)=\sqrt{3x-2} e g(x)=-\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}x\right). Então, para x\to1^+,
\lim_{x\to1^+} H(x)=\lim_{x\to1^+}\left(\sqrt{3x-2}\cdot\bigl(-\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)\bigr)\right).
Ambos os fatores são contínuos à direita de 1, então substituímos x=1:
\lim_{x\to1^+} H(x)= \sqrt{3\cdot1-2}\cdot\bigl(-\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\cdot1\right)\bigr)=1\cdot(-1) = -1.

Passo 9

Conclusão sobre \lim_{x\to1} H(x).
Como \lim_{x\to1^-} H(x)=-1 e \lim_{x\to1^+} H(x)=-1, os limites laterais coincidem. Logo o limite existe e
\lim_{x\to1} H(x)=-1.

Resposta

\lim_{x\to1^-} f(x)=-\dfrac{1}{2},\quad \lim_{x\to1^+} f(x)=1, portanto \lim_{x\to1} f(x) não existe.
\lim_{x\to1^-} g(x)=2,\quad \lim_{x\to1^+} g(x)=-1, portanto \lim_{x\to1} g(x) não existe.
\lim_{x\to1} H(x)=-1.

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