As perguntas são:
(a) Calcular \lim_{x\to 1} f(x) e \lim_{x\to 1} g(x).
(b) Calcular \lim_{x\to 1} H(x), caso exista.
Informações relevantes dadas: as fórmulas de f e g nos dois lados de x=1 (ou seja, as expressões para x\le1 e para x>1). Nada mais é pedido além dos limites em x\to1.]
Passo 2
Breve lembrete didático sobre limites laterais (um mini-aula): quando a função é definida por partes, para saber \lim_{x\to1} precisamos checar os dois limites laterais \lim_{x\to1^-} (quando x se aproxima de 1 pela esquerda) e \lim_{x\to1^+} (quando x se aproxima de 1 pela direita). Se os dois existirem e forem iguais, então o limite comum é \lim_{x\to1}. Se forem diferentes, o limite geral não existe.
Também: se a expressão que define a função em um lado for uma função contínua naquele ponto (racional sem divisão por zero, exponencial, raiz bem definida, seno etc.), podemos simplesmente substituir x=1 na expressão para obter o limite lateral.
Passo 3
Calcular os limites laterais de f.
Para x\le1 temos \;f(x)=-\dfrac{1}{x+1}. Essa é uma função racional contínua para x\neq -1; em particular é contínua em x=1. Portanto
Para x>1 temos \;f(x)=\sqrt{3x-2}. A função raiz principal \sqrt{\cdot} é contínua onde o argumento é não negativo; em x=1 o argumento é 3\cdot1-2=1\ge0. Assim
\lim_{x\to1^+} f(x)=\sqrt{3\cdot1-2}= \sqrt{1}=1.
Passo 4
Conclusão sobre \lim_{x\to1} f(x).
Como \lim_{x\to1^-} f(x)=-\dfrac{1}{2} e \lim_{x\to1^+} f(x)=1, os limites laterais são diferentes. Logo o limite \lim_{x\to1} f(x) não existe.
Passo 5
Calcular os limites laterais de g.
Para x\le1 temos \;g(x)=2^{3-2x}. A função exponencial 2^{\text{(algo contínuo)}}í é contínua; basta substituir x=1:
\lim_{x\to1^-} g(x)=2^{3-2\cdot1}=2^{1}=2.
Para x>1 temos \;g(x)=-\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}x\right). A função \sin é contínua, então