Calcule o limite, caso exista.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis, e vamos usar coordenadas polares e o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) para mostrar que o limite é 0.

Passo 2

Fazemos a troca para coordenadas polares, definindo
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e (x,y)\to(0,0) equivale a r\to0^{+} com \theta arbitrário.

Passo 3

Substituindo na expressão, o numerador fica
x\,y^{2} = (r\cos\theta)\,(r\sin\theta)^{2} = r^{3}\cos\theta\,\sin^{2}\theta
e o denominador é
\sqrt{x^{2}+y^{2}} = r.
Logo a função em polares é
\frac{x\,y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \frac{r^{3}\cos\theta\,\sin^{2}\theta}{r} = r^{2}\,\cos\theta\,\sin^{2}\theta.

Passo 4

Agora usamos uma desigualdade para controlar essa expressão. Sabemos que \lvert\cos\theta\rvert\le1 e \lvert\sin\theta\rvert\le1, logo
\bigl|r^{2}\cos\theta\,\sin^{2}\theta\bigr| \le r^{2}\,\bigl|\cos\theta\bigr|\,\bigl|\sin\theta\bigr|^{2} \le r^{2}\cdot1\cdot1 = r^{2}.

Passo 5

Como r\to0 implica r^{2}\to0, pelo Teorema do Confronto segue que
r^{2}\cos\theta\,\sin^{2}\theta \;\longrightarrow\;0.
Portanto a função dada tende a 0 quando (x,y)\to(0,0).

Resposta

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \;=\; 0.

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