Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
f(x, y)=3 x^{2} y^{2}+5 x y+6

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto de pontos de continuidade de \r
f(x,y)=3x^{2}y^{2}+5xy+6,\r
uma função de duas variáveis. O conteúdo aqui é continuidade de funções em \mathbb{R}^2 e vamos usar que polinômios em x e y são contínuos em todo lugar.

Passo 2

Sabemos que as projeções (x,y)\mapsto x e (x,y)\mapsto y são contínuas em \mathbb{R}^2. Além disso, a soma, o produto e o produto por constante de funções contínuas também são contínuos. Portanto:\r
(x,y)\mapsto x^2,\quad (x,y)\mapsto y^2,\quad (x,y)\mapsto xy\r
são contínuas, e multiplicando por 3 ou por 5 e somando com a função constante 6 também preserva a continuidade.

Passo 3

Como \r
3x^2y^2,\quad 5xy,\quad 6\r
são cada uma contínua em todo \mathbb{R}^2 e f é a soma dessas três, concluímos que f é contínua em todo \mathbb{R}^2.

Resposta

O conjunto de continuidade de f é \mathbb{R}^2.

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