Calcule as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} e \frac{\partial f}{\partial z} para:
f(x, y, z)=\operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y,z)=\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)
em relação a x, y e z. O conteúdo envolvido é derivada parcial e aplicação da regra da cadeia, pois a função é composta: primeiro soma dos quadrados, depois seno.

Passo 2

Definimos a função auxiliar
u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2},
de modo que
f(x,y,z)=\operatorname{sen}\bigl(u(x,y,z)\bigr).
Pela regra da cadeia, a derivada parcial de f em relação a qualquer variável \xi\in\{x,y,z\} é
\frac{\partial f}{\partial \xi} =\cos\bigl(u(x,y,z)\bigr)\,\frac{\partial u}{\partial \xi}.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de u. Como u=x^{2}+y^{2}+z^{2}, temos
\frac{\partial u}{\partial x}=2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y}=2y, \quad \frac{\partial u}{\partial z}=2z.
Isto vem da regra de derivação de potências: \partial (x^{2})/\partial x=2x, e termos com outras variáveis são constantes.

Passo 4

Substituindo em cada caso na fórmula da regra da cadeia, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} =\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\cdot 2x =2x\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr),
\frac{\partial f}{\partial y} =\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\cdot 2y =2y\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr),
\frac{\partial f}{\partial z} =\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\cdot 2z =2z\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2x\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=2y\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=2z\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)

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