calcule o limite dado, usando os teoremas de limite.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função alvo é
. - O ponto onde fazemos a aproximação é
.
O que se pede: o valor numérico desse limite.
Passo 2
Lembraremos dos teoremas de limite que vamos usar (de um jeito bem direto):
- Se
e existem, então - Para produto e múltiplo por constante valem propriedades análogas:
- Funções elementares como projeções
, , somas, produtos e potências são contínuas; portanto seus limites ao se aproximar de um ponto são obtidos simplesmente substituindo as coordenadas do ponto na expressão.
Esses resultados são os que justificam que podemos calcular o limite termo a termo e, no caso de polinômios em
e
, simplesmente substituir o ponto.
Passo 3
Aplicando as regras acima à nossa função, escrevemos o limite separando os termos:
Cada um desses limites existe porque
,
e
são funções contínuas de
.
Passo 4
Calculemos os limites simples por substituição (continuidade):
Passo 5
Agora juntamos os resultados e efetuamos a conta:
Passo 6
Comentário final de verificação (rápido e prático para prova): como
é um polinômio em
e
, é contínua em todo
. Para limites em pontos onde a função é contínua, basta substituir as coordenadas do ponto na expressão — isso é exatamente o que fizemos acima.