calcule o limite dado, usando os teoremas de limite.
\lim _{(x, y) \rightarrow(-1,4)}\left(5 x^{2}-2 x y+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(-1,4)}\bigl(5x^{2}-2xy+y^{2}\bigr).
Informações dadas:
  • A função alvo é f(x,y)=5x^{2}-2xy+y^{2}.
  • O ponto onde fazemos a aproximação é (x,y)\to(-1,4).
    O que se pede: o valor numérico desse limite.

Passo 2

Lembraremos dos teoremas de limite que vamos usar (de um jeito bem direto):
  • Se \lim_{(x,y)\to(a,b)}g(x,y) e \lim_{(x,y)\to(a,b)}h(x,y) existem, então \lim_{(x,y)\to(a,b)}\bigl(g+h\bigr)(x,y) =\lim_{(x,y)\to(a,b)}g(x,y)+\lim_{(x,y)\to(a,b)}h(x,y).
  • Para produto e múltiplo por constante valem propriedades análogas: \lim_{(x,y)\to(a,b)}\bigl(c\cdot g\bigr)(x,y) =c\cdot\lim_{(x,y)\to(a,b)}g(x,y),
\lim_{(x,y)\to(a,b)}\bigl(g\cdot h\bigr)(x,y) =\lim_{(x,y)\to(a,b)}g(x,y)\cdot\lim_{(x,y)\to(a,b)}h(x,y).
  • Funções elementares como projeções x\mapsto x, y\mapsto y, somas, produtos e potências são contínuas; portanto seus limites ao se aproximar de um ponto são obtidos simplesmente substituindo as coordenadas do ponto na expressão.
Esses resultados são os que justificam que podemos calcular o limite termo a termo e, no caso de polinômios em x e y, simplesmente substituir o ponto.

Passo 3

Aplicando as regras acima à nossa função, escrevemos o limite separando os termos:
\lim_{(x,y)\to(-1,4)}\bigl(5x^{2}-2xy+y^{2}\bigr) = 5\lim_{(x,y)\to(-1,4)}x^{2} -2\lim_{(x,y)\to(-1,4)}(x y) +\lim_{(x,y)\to(-1,4)}y^{2}.
Cada um desses limites existe porque x^{2}, xy e y^{2} são funções contínuas de (x,y).

Passo 4

Calculemos os limites simples por substituição (continuidade):
\lim_{(x,y)\to(-1,4)}x^{2}=(-1)^{2}=1,
\lim_{(x,y)\to(-1,4)}(x y)=(-1)\cdot 4=-4,
\lim_{(x,y)\to(-1,4)}y^{2}=4^{2}=16.

Passo 5

Agora juntamos os resultados e efetuamos a conta:
5\cdot 1 -2\cdot(-4) + 16 =5 + 8 + 16 =29.

Passo 6

Comentário final de verificação (rápido e prático para prova): como f é um polinômio em x e y, é contínua em todo \mathbb{R}^{2}. Para limites em pontos onde a função é contínua, basta substituir as coordenadas do ponto na expressão — isso é exatamente o que fizemos acima.

Resposta

29

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