Nos Exercícios de l a 24, determine todos os pontos em que a função é contínua.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar todos os pontos
em que a função
é contínua, sendo
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é obtida aplicando
a . - A variável de entrada para
é o número real . - Não há outras restrições explícitas no enunciado.
Passo 2
Primeiro preciso esclarecer o que significa
aqui. Vou tomar
como a inversa da função secante (isto é, a arcsecante), que só está definida para argumentos com valor absoluto maior ou igual a
. Vou explicar por quê.
Definição e motivo: a secante é
. Como
varia em
e nunca é
nos pontos onde
está definida, o valor de
sempre satisfaz
. Portanto a imagem (o conjunto de valores possíveis) da secante é
Assim, a função inversa
só pode ser definida para
Logo, para que
esteja definida é necessário que
pertença a esse conjunto.
Passo 3
Determinar o domínio de definição de
. A condição para que
esteja definida é
ou, de forma mais compacta,
Portanto o domínio de
(conjunto de pontos onde
existe) é
Passo 4
Agora vou lembrar duas propriedades de continuidade que vou usar (explicadas de forma simples).
-
O produto
é uma função polinomial nas variáveis , logo é contínua em todo . Em palavras: se então . -
A função
(a arcsecante) é contínua em cada ponto do seu domínio . Uma forma intuitiva de ver isso: a secante, restrita a um ramo apropriado, é contínua e injetora, logo sua inversa é contínua nos valores dessa imagem. Em particular é contínua em qualquer com , inclusive nos pontos .
Passo 5
Use a ideia de composição de funções:
, com
.
-
Se
então é contínua em e pertence ao domínio de . Como é contínua naquele valor, a composição é contínua em (esta é a ideia padrão: a composição de funções contínuas é contínua, aplicada aqui no contexto dos pontos onde a composição está definida). -
Atenção com os pontos de fronteira
: mesmo nesses pontos a argumentação vale quando consideramos continuidade relativa ao domínio . Para ver de forma simples: se e com , então e, pela continuidade de em , temos . Portanto . Assim é contínua em pontos com também (continuidade no sentido topológico relativo ao domínio).
Passo 6
Conclusão e descrição final do conjunto de continuidade:
-
A função
não está definida quando , logo nesses pontos não se questiona continuidade (função não existe aí). -
Em todo ponto do domínio
a função é contínua, por ser composição de uma função contínua com a arcsecante, que é contínua em todo ponto do seu próprio domínio.
Exemplos rápidos para visualizar:
- O ponto
tem , pertence a e é contínua ali. - O ponto
tem , com , não pertence a e não está definida aí.