Nos Exercícios de l a 24, determine todos os pontos em que a função é contínua.
f(x, y)=\operatorname{sec} ^{-1}(x y)

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar todos os pontos (x,y) em que a função f é contínua, sendo
f(x,y)=\operatorname{sec}^{-1}(x y).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é obtida aplicando \operatorname{sec}^{-1} a x y.
  • A variável de entrada para \operatorname{sec}^{-1} é o número real x y.
  • Não há outras restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Primeiro preciso esclarecer o que significa \operatorname{sec}^{-1} aqui. Vou tomar \operatorname{sec}^{-1} como a inversa da função secante (isto é, a arcsecante), que só está definida para argumentos com valor absoluto maior ou igual a 1. Vou explicar por quê.
Definição e motivo: a secante é \operatorname{sec} t = \dfrac{1}{\cos t}. Como \cos t varia em [-1,1] e nunca é 0 nos pontos onde \operatorname{sec} está definida, o valor de \operatorname{sec} t sempre satisfaz |\operatorname{sec} t|\ge 1. Portanto a imagem (o conjunto de valores possíveis) da secante é
(-\infty,-1]\cup[1,\infty).
Assim, a função inversa \operatorname{sec}^{-1}(u) só pode ser definida para
u\in(-\infty,-1]\cup[1,\infty).
Logo, para que f(x,y)=\operatorname{sec}^{-1}(x y) esteja definida é necessário que x y pertença a esse conjunto.

Passo 3

Determinar o domínio de definição de f. A condição para que f(x,y) esteja definida é
x y \in (-\infty,-1]\cup[1,\infty),
ou, de forma mais compacta,
|x y|\ge 1.
Portanto o domínio de f (conjunto de pontos onde f existe) é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : |x y|\ge 1\}.

Passo 4

Agora vou lembrar duas propriedades de continuidade que vou usar (explicadas de forma simples).
  1. O produto p(x,y)=x y é uma função polinomial nas variáveis x,y, logo é contínua em todo \mathbb{R}^2. Em palavras: se (x_n,y_n)\to(x_0,y_0) então x_n y_n \to x_0 y_0.
  2. A função \operatorname{sec}^{-1}(u) (a arcsecante) é contínua em cada ponto do seu domínio (-\infty,-1]\cup[1,\infty). Uma forma intuitiva de ver isso: a secante, restrita a um ramo apropriado, é contínua e injetora, logo sua inversa é contínua nos valores dessa imagem. Em particular \operatorname{sec}^{-1} é contínua em u qualquer com |u|\ge 1, inclusive nos pontos u=\pm 1.

Passo 5

Use a ideia de composição de funções: f = \operatorname{sec}^{-1}\circ p, com p(x,y)=x y.
  • Se (x_0,y_0)\in D então p é contínua em (x_0,y_0) e p(x_0,y_0)=x_0y_0 pertence ao domínio de \operatorname{sec}^{-1}. Como \operatorname{sec}^{-1} é contínua naquele valor, a composição \operatorname{sec}^{-1}\circ p é contínua em (x_0,y_0) (esta é a ideia padrão: a composição de funções contínuas é contínua, aplicada aqui no contexto dos pontos onde a composição está definida).
  • Atenção com os pontos de fronteira x_0y_0=\pm 1: mesmo nesses pontos a argumentação vale quando consideramos continuidade relativa ao domínio D. Para ver de forma simples: se (x_n,y_n)\in D e (x_n,y_n)\to (x_0,y_0) com x_0y_0=\pm1, então x_ny_n\to\pm1 e, pela continuidade de \operatorname{sec}^{-1} em \pm1, temos \operatorname{sec}^{-1}(x_ny_n)\to\operatorname{sec}^{-1}(\pm1). Portanto f(x_n,y_n)\to f(x_0,y_0). Assim f é contínua em pontos com x_0y_0=\pm1 também (continuidade no sentido topológico relativo ao domínio).

Passo 6

Conclusão e descrição final do conjunto de continuidade:
  • A função f não está definida quando |x y|<1, logo nesses pontos não se questiona continuidade (função não existe aí).
  • Em todo ponto do domínio D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:|x y|\ge 1\} a função f é contínua, por ser composição de uma função contínua p(x,y)=xy com a arcsecante, que é contínua em todo ponto do seu próprio domínio.
Exemplos rápidos para visualizar:
  • O ponto (1,1) tem 1\cdot1=1, pertence a D e f é contínua ali.
  • O ponto (0,2) tem 0\cdot2=0, com |0|<1, não pertence a D e f não está definida aí.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : |x y|\ge 1\}

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