Calcule os limites e justifique cada passo indicando as leis dos limites apropriadas.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular o limite
Informações fornecidas: a expressão é o produto de dois polinômios em
. É preciso justificar cada passo indicando as leis dos limites usadas.
Passo 2
Lei dos limites que vou usar primeiro (produto): se
e
existem e são finitos, então
Intuição simples: ao aproximar
de
, os valores de
e
ficam próximos dos seus limites, logo o produto fica próximo do produto dos limites.
Passo 3
Aplicando a lei do produto à nossa expressão:
desde que os limites das duas parcelas existam (vamos calculá-los e mostrar que existem).
Passo 4
Cálculo do primeiro limite
.
Lei usada (diferença): se os limites de
e
existem, então
Aplicando:
Agora as leis auxiliares:
- (potência)
para inteiro . - (constante múltipla)
.
Como
, temos
Portanto
Passo 5
Cálculo do segundo limite
.
Lei usada (soma): se os limites existem, a soma é a soma dos limites. Aplicando termo a termo:
Usando as mesmas leis de potência e constante múltipla e sabendo que
, obtemos
Somando:
Passo 6
Agora multiplicamos os resultados obtidos (pela lei do produto do Passo 2):
Observação rápida: isso coincide com a substituição direta
nos polinômios, pois polinômios são construídos por soma e produto de
e constantes e, portanto, são contínuos (ou seja, o limite no ponto é o valor no ponto).