Calcule os limites e justifique cada passo indicando as leis dos limites apropriadas.
\lim _{x \rightarrow-1}\left(x^{4}-3 x\right)\left(x^{2}+5 x+3\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular o limite
\lim_{x\rightarrow -1}\left(x^{4}-3x\right)\left(x^{2}+5x+3\right).
Informações fornecidas: a expressão é o produto de dois polinômios em x. É preciso justificar cada passo indicando as leis dos limites usadas.

Passo 2

Lei dos limites que vou usar primeiro (produto): se \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) existem e são finitos, então
\lim_{x\to a} f(x)g(x)=\left(\lim_{x\to a} f(x)\right)\left(\lim_{x\to a} g(x)\right).
Intuição simples: ao aproximar x de a, os valores de f e g ficam próximos dos seus limites, logo o produto fica próximo do produto dos limites.

Passo 3

Aplicando a lei do produto à nossa expressão:
\lim_{x\to -1}\left(x^{4}-3x\right)\left(x^{2}+5x+3\right) = \left(\lim_{x\to -1}\big(x^{4}-3x\big)\right) \left(\lim_{x\to -1}\big(x^{2}+5x+3\big)\right),
desde que os limites das duas parcelas existam (vamos calculá-los e mostrar que existem).

Passo 4

Cálculo do primeiro limite \lim_{x\to -1}\big(x^{4}-3x\big).
Lei usada (diferença): se os limites de u e v existem, então
\lim_{x\to a}(u(x)-v(x))=\lim_{x\to a}u(x)-\lim_{x\to a}v(x).
Aplicando:
\lim_{x\to -1}\big(x^{4}-3x\big) = \lim_{x\to -1}x^{4}-\lim_{x\to -1}3x.
Agora as leis auxiliares:
  • (potência) \displaystyle \lim_{x\to a} [x^{n}]=\big(\lim_{x\to a} x\big)^{n} para inteiro n\ge 1.
  • (constante múltipla) \displaystyle \lim_{x\to a} c\cdot h(x)=c\cdot\lim_{x\to a} h(x).
Como \lim_{x\to -1} x = -1, temos
\lim_{x\to -1} x^{4} = (-1)^{4}=1, \qquad \lim_{x\to -1} 3x = 3\cdot(-1)=-3.
Portanto
\lim_{x\to -1}\big(x^{4}-3x\big)=1-(-3)=4.

Passo 5

Cálculo do segundo limite \lim_{x\to -1}\big(x^{2}+5x+3\big).
Lei usada (soma): se os limites existem, a soma é a soma dos limites. Aplicando termo a termo:
\lim_{x\to -1}\big(x^{2}+5x+3\big) =\lim_{x\to -1}x^{2}+\lim_{x\to -1}5x+\lim_{x\to -1}3.
Usando as mesmas leis de potência e constante múltipla e sabendo que \lim_{x\to -1}x=-1, obtemos
\lim_{x\to -1}x^{2}=(-1)^{2}=1, \qquad \lim_{x\to -1}5x=5\cdot(-1)=-5, \qquad \lim_{x\to -1}3=3.
Somando:
\lim_{x\to -1}\big(x^{2}+5x+3\big)=1+(-5)+3=-1.

Passo 6

Agora multiplicamos os resultados obtidos (pela lei do produto do Passo 2):
\lim_{x\to -1}\left(x^{4}-3x\right)\left(x^{2}+5x+3\right) =4\cdot(-1)=-4.
Observação rápida: isso coincide com a substituição direta x=-1 nos polinômios, pois polinômios são construídos por soma e produto de x e constantes e, portanto, são contínuos (ou seja, o limite no ponto é o valor no ponto).

Resposta

-4

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