Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x+\sqrt{x^{2}+2 x}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\left(x+\sqrt{x^{2}+2x}\right).
Informações dadas:
  • A variável x tende para -\infty.
  • A expressão é x+\sqrt{x^{2}+2x}.

Passo 2

Por observação rápida, ao fazer substituição direta temos x\to -\infty e \sqrt{x^{2}+2x}\to +\infty, ou seja a soma é do tipo -\infty + \infty, uma forma indefinida. Para resolver isso vamos manipular algebraicamente a expressão de forma a ter uma forma mais tratável (truque da conjugada).

Passo 3

Multiplicamos a expressão por 1 escrita como a razão entre a conjugada e ela mesma:
x+\sqrt{x^{2}+2x} = \left(x+\sqrt{x^{2}+2x}\right)\cdot\frac{x-\sqrt{x^{2}+2x}}{x-\sqrt{x^{2}+2x}}.
Usando (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} obtemos
x+\sqrt{x^{2}+2x} = \frac{x^{2}-\bigl(x^{2}+2x\bigr)}{x-\sqrt{x^{2}+2x}} = \frac{-2x}{\,x-\sqrt{x^{2}+2x}\,}.

Passo 4

Agora vamos simplificar o denominador usando fatoração adequada da raiz. Repare que
\sqrt{x^{2}+2x}=\lvert x\rvert\sqrt{1+\frac{2}{x}}.
Como estamos estudando o limite quando x\to -\infty, para x suficientemente negativo vale \lvert x\rvert=-x. Portanto
\sqrt{x^{2}+2x}=-x\sqrt{1+\frac{2}{x}}.
Substituindo isso no denominador:
x-\sqrt{x^{2}+2x}=x-(-x\sqrt{1+\tfrac{2}{x}})=x\bigl(1+\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}\bigr).

Passo 5

Substituindo o denominador simplificado na expressão obtida no Passo 3:
x+\sqrt{x^{2}+2x} = \frac{-2x}{x\bigl(1+\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}\bigr)}.
Para x\neq 0 podemos cancelar x:
x+\sqrt{x^{2}+2x}=\frac{-2}{\,1+\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}\,}.

Passo 6

Agora que temos uma expressão mais simples, tomamos o limite quando x\to -\infty. Observe que \dfrac{2}{x}\to 0 quando x\to -\infty, e a função \sqrt{\cdot} é contínua, logo
\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}\\ \longrightarrow\\ \sqrt{1+0}=1.
Portanto a expressão reduzida tende para
\frac{-2}{1+1}=\frac{-2}{2}=-1.

Passo 7

(Método alternativo — intuição assintótica) Outra maneira de ver o resultado é expandir a raiz para grandes \lvert x\rvert. Usando \sqrt{1+u}=1+\tfrac{u}{2}+O(u^{2}) com u=\tfrac{2}{x}
\sqrt{x^{2}+2x}=-x\left(1+\frac{1}{x}+O\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)\right)=-x-1+O\!\left(\frac{1}{x}\right),
e assim
x+\sqrt{x^{2}+2x}=(x- x)-1+O\!\left(\frac{1}{x}\right)=-1+o(1),
confirmando que o limite é -1.

Resposta

-1

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