Calcule o limite, se existir.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas:
- A variável
tende para . - A expressão é
.
Passo 2
Por observação rápida, ao fazer substituição direta temos
e
, ou seja a soma é do tipo
, uma forma indefinida. Para resolver isso vamos manipular algebraicamente a expressão de forma a ter uma forma mais tratável (truque da conjugada).
Passo 3
Multiplicamos a expressão por
escrita como a razão entre a conjugada e ela mesma:
Usando
obtemos
Passo 4
Agora vamos simplificar o denominador usando fatoração adequada da raiz. Repare que
Como estamos estudando o limite quando
, para
suficientemente negativo vale
. Portanto
Substituindo isso no denominador:
Passo 5
Substituindo o denominador simplificado na expressão obtida no Passo 3:
Para
podemos cancelar
:
Passo 6
Agora que temos uma expressão mais simples, tomamos o limite quando
. Observe que
quando
, e a função
é contínua, logo
Portanto a expressão reduzida tende para
Passo 7
(Método alternativo — intuição assintótica) Outra maneira de ver o resultado é expandir a raiz para grandes
. Usando
com
dá
e assim
confirmando que o limite é
.
Resposta
-1