Exercício 4) Considere a curva \gamma:=S_{1} \cap S_{2}. Pedimos que:
Encontre uma parametrização para a curva \gamma; Determine a equação da reta tangente à curva \gamma no ponto indicado. Nos seguinte casos:
a) S_{1}: z=x^{2}+y^{2} e S_{2}: z=4-2 x-4 y, no ponto (2,-2,8);
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies e pede coisas sobre a curva \gamma := S_1 \cap S_2. Dados e perguntas (explicitando tudo que foi fornecido):
Superfície S_{1} tem equação \;z = x^{2} + y^{2}.
Superfície S_{2} tem equação \;z = 4 - 2x - 4y.
A curva \gamma é a interseção \;S_{1}\cap S_{2}.
Ponto indicado: (2,-2,8).
Perguntas pedidas:
Encontre uma parametrização para a curva \gamma.
Determine a equação da reta tangente à curva \gamma no ponto (2,-2,8).
Passo 2
Vamos obter a relação entre x e y que define a projeção da curva no plano xy. Como na curva a mesma z vale para as duas superfícies, igualamos as expressões de z:
x^{2}+y^{2} = 4 - 2x - 4y.
Reorganizando todos os termos num lado:
x^{2}+y^{2}+2x+4y-4 = 0.
Agora completamos quadrados para transformar em equação de círculo. Faça cada termo quadrático com o respectivo linear:
Portanto a projeção da curva no plano xy é o círculo
(x+1)^{2} + (y+2)^{2} = 3^{2},
ou seja, círculo de centro (-1,-2) e raio 3.]
Passo 3
Agora que sabemos que a projeção no plano xy é um círculo, usamos a parametrização padrão do círculo para obter x(t) e y(t). Para um círculo de centro (x_0,y_0) e raio R usamos
Para obter z(t) basta usar a equação de qualquer uma das superfícies; por exemplo z=x^{2}+y^{2}. Calculamos z(t):
\begin{aligned} z(t) &= \bigl(-1+3\cos t\bigr)^{2} + \bigl(-2+3\sin t\bigr)^{2}\\[4pt] &= \bigl(1 -6\cos t +9\cos^{2}t\bigr) + \bigl(4 -12\sin t +9\sin^{2}t\bigr)\\[4pt] &= 5 -6\cos t -12\sin t +9\bigl(\cos^{2}t+\sin^{2}t\bigr)\\[4pt] &= 5 -6\cos t -12\sin t +9\\[4pt] &= 14 -6\cos t -12\sin t. \end{aligned}
(Observe que foi usada a identidade trigonométrica \cos^{2}t+\sin^{2}t=1.)
Portanto uma parametrização da curva \gamma é
Verificamos que o ponto (2,-2,8) está de fato na curva e obtemos o parâmetro t correspondente. Igualando x(t) a 2:
-1+3\cos t = 2 \quad\Rightarrow\quad 3\cos t = 3 \quad\Rightarrow\quad \cos t = 1.
Isto dá t = 0 + 2\pi k. Verificando y(t) em t=0:
y(0) = -2 + 3\sin 0 = -2 + 0 = -2,
e z(0) = 14 -6\cos 0 -12\sin 0 = 14 -6\cdot 1 -0 = 8. Portanto t_{0}=0 dá exatamente o ponto (2,-2,8).
Passo 5
Agora calculamos a reta tangente à curva no ponto usando a derivada da parametrização (método direto e intuitivo). Para curvas parametrizadas por \gamma(t), o vetor tangente em t é \gamma'(t) (derivada componente a componente). Derivando cada componente:
onde para z'(t) foi derivado de z(t)=14-6\cos t-12\sin t. Avaliando em t_{0}=0:
\gamma'(0) = \bigl(0,\;3,\; -12\bigr).
Um vetor diretor mais simples proporcional é \bigl(0,1,-4\bigr) (dividimos por 3). Esse é o vetor direcional da reta tangente.
Breve explicação didática: a derivada \gamma'(t) dá a velocidade da partícula que percorre a curva quando o parâmetro varia; geometricamente isso aponta a direção da curva naquele ponto, por isso é o vetor tangente.]
Passo 6
Escrevemos a equação da reta tangente passando por (2,-2,8)\) com vetor diretor \((0,1,-4)\). Forma vetorial (paramétrica com parâmetro \(s\)):
\[\ell(s) = (2,-2,8) + s\,(0,1,-4),\qquad s\in\mathbb{R}.
Forma simétrica (quando possível) elimina s\]; aqui \(x é constante, então a forma simétrica fica
x = 2,\qquad \frac{y+2}{1}=\frac{z-8}{-4}.]
Passo 7
(Apresento uma verificação alternativa — útil como técnica em provas — sem substituir o método anterior.) Outra maneira de obter o vetor diretor da interseção de duas superfícies é calcular os vetores normais \nabla F_1 e \nabla F_2 das superfícies e tomar o produto vetorial: a interseção é tangente a ambos, logo sua direção é ortogonal a ambos os normais. Definindo
que é proporcional a (0,1,-4), confirmando o resultado anterior. Isso é bom para checar erros e às vezes é até mais rápido em prova quando não se quer parametrizar explicitamente.