Exercício 4) Considere a curva \gamma:=S_{1} \cap S_{2}. Pedimos que:
Encontre uma parametrização para a curva \gamma; Determine a equação da reta tangente à curva \gamma no ponto indicado. Nos seguinte casos:
a) S_{1}: z=x^{2}+y^{2} e S_{2}: z=4-2 x-4 y, no ponto (2,-2,8);

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies e pede coisas sobre a curva \gamma := S_1 \cap S_2. Dados e perguntas (explicitando tudo que foi fornecido):
  • Superfície S_{1} tem equação \;z = x^{2} + y^{2}.
  • Superfície S_{2} tem equação \;z = 4 - 2x - 4y.
  • A curva \gamma é a interseção \;S_{1}\cap S_{2}.
  • Ponto indicado: (2,-2,8).
    Perguntas pedidas:
  1. Encontre uma parametrização para a curva \gamma.
  2. Determine a equação da reta tangente à curva \gamma no ponto (2,-2,8).

Passo 2

Vamos obter a relação entre x e y que define a projeção da curva no plano xy. Como na curva a mesma z vale para as duas superfícies, igualamos as expressões de z:
x^{2}+y^{2} = 4 - 2x - 4y.
Reorganizando todos os termos num lado:
x^{2}+y^{2}+2x+4y-4 = 0.
Agora completamos quadrados para transformar em equação de círculo. Faça cada termo quadrático com o respectivo linear:
\begin{aligned} x^{2}+2x &= (x+1)^{2} - 1,\\[4pt] y^{2}+4y &= (y+2)^{2} - 4. \end{aligned}
Substituindo na equação:
\bigl((x+1)^{2}-1\bigr) + \bigl((y+2)^{2}-4\bigr) - 4 = 0.
Somando constantes:
(x+1)^{2} + (y+2)^{2} -9 = 0.
Portanto a projeção da curva no plano xy é o círculo
(x+1)^{2} + (y+2)^{2} = 3^{2},
ou seja, círculo de centro (-1,-2) e raio 3.]

Passo 3

Agora que sabemos que a projeção no plano xy é um círculo, usamos a parametrização padrão do círculo para obter x(t) e y(t). Para um círculo de centro (x_0,y_0) e raio R usamos
x(t)=x_0 + R\cos t,\qquad y(t)=y_0 + R\sin t,\qquad t\in\mathbb{R}.
No nosso caso x_0=-1, y_0=-2, R=3. Assim escolhemos
x(t) = -1 + 3\cos t,\qquad y(t) = -2 + 3\sin t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Para obter z(t) basta usar a equação de qualquer uma das superfícies; por exemplo z=x^{2}+y^{2}. Calculamos z(t):
\begin{aligned} z(t) &= \bigl(-1+3\cos t\bigr)^{2} + \bigl(-2+3\sin t\bigr)^{2}\\[4pt] &= \bigl(1 -6\cos t +9\cos^{2}t\bigr) + \bigl(4 -12\sin t +9\sin^{2}t\bigr)\\[4pt] &= 5 -6\cos t -12\sin t +9\bigl(\cos^{2}t+\sin^{2}t\bigr)\\[4pt] &= 5 -6\cos t -12\sin t +9\\[4pt] &= 14 -6\cos t -12\sin t. \end{aligned}
(Observe que foi usada a identidade trigonométrica \cos^{2}t+\sin^{2}t=1.)
Portanto uma parametrização da curva \gamma é
\gamma(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)=\bigl(-1+3\cos t,\;-2+3\sin t,\;14-6\cos t-12\sin t\bigr),\quad t\in\mathbb{R}.]

Passo 4

Verificamos que o ponto (2,-2,8) está de fato na curva e obtemos o parâmetro t correspondente. Igualando x(t) a 2:
-1+3\cos t = 2 \quad\Rightarrow\quad 3\cos t = 3 \quad\Rightarrow\quad \cos t = 1.
Isto dá t = 0 + 2\pi k. Verificando y(t) em t=0:
y(0) = -2 + 3\sin 0 = -2 + 0 = -2,
e z(0) = 14 -6\cos 0 -12\sin 0 = 14 -6\cdot 1 -0 = 8. Portanto t_{0}=0 dá exatamente o ponto (2,-2,8).

Passo 5

Agora calculamos a reta tangente à curva no ponto usando a derivada da parametrização (método direto e intuitivo). Para curvas parametrizadas por \gamma(t), o vetor tangente em t é \gamma'(t) (derivada componente a componente). Derivando cada componente:
\begin{aligned} x'(t) &= -3\sin t,\\[4pt] y'(t) &= 3\cos t,\\[4pt] z'(t) &= 6\sin t -12\cos t, \end{aligned}
onde para z'(t) foi derivado de z(t)=14-6\cos t-12\sin t. Avaliando em t_{0}=0:
\gamma'(0) = \bigl(0,\;3,\; -12\bigr).
Um vetor diretor mais simples proporcional é \bigl(0,1,-4\bigr) (dividimos por 3). Esse é o vetor direcional da reta tangente.
Breve explicação didática: a derivada \gamma'(t) dá a velocidade da partícula que percorre a curva quando o parâmetro varia; geometricamente isso aponta a direção da curva naquele ponto, por isso é o vetor tangente.]

Passo 6

Escrevemos a equação da reta tangente passando por (2,-2,8)\) com vetor diretor \((0,1,-4)\). Forma vetorial (paramétrica com parâmetro \(s\)): \[\ell(s) = (2,-2,8) + s\,(0,1,-4),\qquad s\in\mathbb{R}.
Em coordenadas componentes:
\begin{cases} x(s) = 2,\\[4pt] y(s) = -2 + s,\\[4pt] z(s) = 8 - 4s. \end{cases}
Forma simétrica (quando possível) elimina s\]; aqui \(x é constante, então a forma simétrica fica
x = 2,\qquad \frac{y+2}{1}=\frac{z-8}{-4}.]

Passo 7

(Apresento uma verificação alternativa — útil como técnica em provas — sem substituir o método anterior.) Outra maneira de obter o vetor diretor da interseção de duas superfícies é calcular os vetores normais \nabla F_1 e \nabla F_2 das superfícies e tomar o produto vetorial: a interseção é tangente a ambos, logo sua direção é ortogonal a ambos os normais. Definindo
F_{1}(x,y,z)=z-x^{2}-y^{2},\qquad F_{2}(x,y,z)=z-4+2x+4y,
temos os gradientes (normais):
\nabla F_{1} = (-2x,-2y,1),\qquad \nabla F_{2} = (2,4,1).
No ponto (2,-2,8):
\nabla F_{1}(2,-2,8)=(-4,4,1),\qquad \nabla F_{2}(2,-2,8)=(2,4,1).
O produto vetorial dá uma direção da reta tangente:
\nabla F_{1}\times\nabla F_{2} = (-4,4,1)\times(2,4,1) = (0,6,-24),
que é proporcional a (0,1,-4), confirmando o resultado anterior. Isso é bom para checar erros e às vezes é até mais rápido em prova quando não se quer parametrizar explicitamente.

Resposta

\gamma(t)=\bigl(-1+3\cos t,\;-2+3\sin t,\;14-6\cos t-12\sin t\bigr),\quad t\in\mathbb{R}.\n
Reta tangente em (2,-2,8): (x,y,z)=(2,-2,8)+s(0,1,-4),\\ s\in\mathbb{R}.

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