Exercício 3) Sendo
faça um esboço de
indicando a orientação determinada pela parametrização dada. Reparametrize de maneira a obter
, nos seguintes casos:
, com (i)
; (ii)
;
Passo 1
O enunciado dá a parametrização
e define
(a curva imagem dessa parametrização). Pede-se:
- Fazer um esboço de
indicando a orientação imposta pela parametrização; - Reparametrizar de modo a obter
(a mesma curva com orientação invertida) nos dois casos:
(i);
(ii).
Informações importantes fornecidas:
- A função componente em
é . - A função componente em
é . - O parâmetro
varia nos intervalos indicados em cada item.
Passo 2
Eliminar o parâmetro para descobrir a equação cartesiana da imagem (isso ajuda muito no esboço).
Como as duas coordenadas dependem de
, ponho
(com
). Então
Isolando
pela primeira relação:
Substituo na segunda:
Portanto a imagem da parametrização é a reta
mas com a restrição que vem de
, isto é, de
. Logo a imagem é o semi-reta (semirreta) da reta
correspondente a
. O ponto quando
é
que é o extremo da semirreta.
Resumo geométric0:
é a semirreta
com ponto inicial
.
Passo 3
Entender a orientação dada pela parametrização: analisar como a posição varia quando
cresce.
- Observe que
. Para , aumenta aumenta aumenta. Assim, para em a parametrização começa em no ponto e vai para pontos com cada vez maiores (ou seja, vai da extremidade para a direita ao longo da semirreta). - Para
(o caso geral), note que é par: e dão a mesma posição. Ao fazer aumentar de até a curva é percorrida duas vezes: primeiro quando vai de até (isso faz diminuir de até , então a semirreta é percorrida de infinito para ) e depois quando vai de até (a semirreta é percorrida de para o infinito). Portanto a parametrização em não é injetora: cada ponto com é atingido duas vezes (por e por ).
Esboço e orientação (como desenhar e marcar a seta):
- Desenhe a reta
. - Marque o ponto
. - Considere somente a porção
: desenhe a semirreta a partir de indo para a direita/ cima (inclinação 3). - Para
: coloque uma seta ao longo da semirreta apontando para a direita (saindo de para o infinito). - Para
: pode desenhar duas setas sobre a mesma semirreta indicando que quando vai de a a trajetória vai do infinito até , e quando vai de a volta de para o infinito.
Passo 4
Conceito prático de reparametrização para inverter a orientação: se
tem domínio
e
é bijeção monótona e diferenciável, então
é uma reparametrização. Se
é decrescente, a orientação é invertida (porque à medida que
aumenta percorremos os valores de
na ordem inversa).
Vou aplicar esse princípio em cada item.
Passo 5
- Dominio original
. - Quero uma função
cuja imagem seja e que seja decrescente: uma escolha simples é tomar domínio novo e definir Note que é bijetora de sobre e é estritamente decrescente (se então ). Assim reparametriza a curva e inverte a orientação. - Escrevendo explicitamente:
- Verificação intuitiva da inversão: se
cresce em , então decresce em . Logo o parâmetro percorre os valores de em ordem decrescente e, portanto, a semirreta é percorrida no sentido inverso (do infinito para ), que é exatamente para o caso (i).
Passo 6
- Dominio original
. Uma bijeção decrescente simples de sobre é (agora com ). Defino Esta é decrescente e bijetora, logo formalmente reparametriza trocando a ordem dos valores de . - Contudo, atenção importante (situação prática e sutil): como
é uma função par (dependente apenas de ), tem . Portanto a expressão coincide ponto a ponto com . Interpretando literalmente o movimento: quando cresce de a , a sequência de pontos visitados por é a mesma que a visitada por (porque para todo ). Em termos da ordem de travessia da semirreta, reverter a ordem dos -valores não altera o caminho efetivo percebido na imagem, porque o caminho original já percorria a semirreta de infinito para e depois de para infinito (palíndromo temporal): inverter esse “palíndromo” dá de novo o mesmo comportamento. - Conclusão prática para (ii):
- Formalmente,
é uma reparametrização decrescente de e é uma reparametrização que, em termos do parâmetro, inverte a ordem dos valores de . - Porém, porque
é par ( ), a imagem e a maneira como a semirreta é percorrida ao longo de permanecem as mesmas; não há uma reparametrização contínua bijetora que transforme a parametrização dada em uma que percorra a semirreta exatamente na ordem oposta ponto a ponto (o problema é que a parametrização original já percorre a semirreta em ambos os sentidos devido à não-injetividade). Se o objetivo for inverter a orientação do trajeto quando este é considerado como curva simples (cada ponto uma única vez), é necessário restringir o domínio (por exemplo ao intervalo ) e então aplicar a reparametrização do item (i).
- Formalmente,
Resposta
(i) A imagem é a semirreta
orientada de
para o infinito. Uma reparametrização que dá
é
(ii) A imagem é a mesma semirreta
, mas a parametrização em
percorre essa semirreta duas vezes (de
a
quando
vai de
a
e de
a
quando
vai de
a
). Formalmente pode-se tomar
porém
, logo essa reparametrização coincide ponto a ponto com a original; devido à paridade de
não existe uma reparametrização contínua bijetora em
que inverta globalmente a orientação de maneira não ambígua sem primeiro restringir o domínio (por exemplo ao caso (i)).