Exercício 3) Sendo \gamma=C_{P} faça um esboço de \gamma indicando a orientação determinada pela parametrização dada. Reparametrize de maneira a obter -\gamma, nos seguintes casos:
P(t)=\left(t^{2}-1,3 t^{2}+2\right), com (i) t \in[0,+\infty); (ii) t \in \mathbb{R};

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
P(t)=\big(t^{2}-1,\;3t^{2}+2\big)
e define \gamma=C_{P} (a curva imagem dessa parametrização). Pede-se:
  • Fazer um esboço de \gamma indicando a orientação imposta pela parametrização;
  • Reparametrizar de modo a obter -\gamma (a mesma curva com orientação invertida) nos dois casos:
    (i) t\in[0,+\infty);
    (ii) t\in\mathbb{R}.
Informações importantes fornecidas:
  • A função componente em x é x(t)=t^{2}-1.
  • A função componente em y é y(t)=3t^{2}+2.
  • O parâmetro t varia nos intervalos indicados em cada item.

Passo 2

Eliminar o parâmetro para descobrir a equação cartesiana da imagem (isso ajuda muito no esboço).
Como as duas coordenadas dependem de t^{2}, ponho u=t^{2} (com u\ge 0). Então
x = u-1,\qquad y = 3u+2.
Isolando u pela primeira relação:
u = x+1.
Substituo na segunda:
y = 3(x+1)+2 = 3x+3+2 = 3x+5.
Portanto a imagem da parametrização é a reta
y = 3x+5,
mas com a restrição que vem de u\ge 0, isto é, de x=u-1\ge -1. Logo a imagem é o semi-reta (semirreta) da reta y=3x+5 correspondente a x\ge -1. O ponto quando t=0 é
P(0)=(-1,2),
que é o extremo da semirreta.
Resumo geométric0: \gamma é a semirreta \{(x,y)\mid y=3x+5,\;x\ge -1\} com ponto inicial (-1,2).

Passo 3

Entender a orientação dada pela parametrização: analisar como a posição varia quando t cresce.
  • Observe que x(t)=t^{2}-1. Para t\ge 0, t aumenta \Rightarrow t^{2} aumenta \Rightarrow x(t) aumenta. Assim, para t em [0,+\infty) a parametrização começa em t=0 no ponto (-1,2) e vai para pontos com x cada vez maiores (ou seja, vai da extremidade (-1,2) para a direita ao longo da semirreta).
  • Para t\in\mathbb{R} (o caso geral), note que t\mapsto t^{2} é par: t e -t dão a mesma posição. Ao fazer t aumentar de -\infty até +\infty a curva é percorrida duas vezes: primeiro quando t vai de -\infty até 0 (isso faz t^{2} diminuir de +\infty até 0, então a semirreta é percorrida de infinito para (-1,2)) e depois quando t vai de 0 até +\infty (a semirreta é percorrida de (-1,2) para o infinito). Portanto a parametrização em \mathbb{R} não é injetora: cada ponto com x>-1 é atingido duas vezes (por t e por -t).
Esboço e orientação (como desenhar e marcar a seta):
  • Desenhe a reta y=3x+5.
  • Marque o ponto (-1,2).
  • Considere somente a porção x\ge-1: desenhe a semirreta a partir de (-1,2) indo para a direita/ cima (inclinação 3).
  • Para t\in[0,\infty): coloque uma seta ao longo da semirreta apontando para a direita (saindo de (-1,2) para o infinito).
  • Para t\in\mathbb{R}: pode desenhar duas setas sobre a mesma semirreta indicando que quando t vai de -\infty a 0 a trajetória vai do infinito até (-1,2), e quando t vai de 0 a +\infty volta de (-1,2) para o infinito.

Passo 4

Conceito prático de reparametrização para inverter a orientação: se P tem domínio I e \varphi:J\to I é bijeção monótona e diferenciável, então Q(s)=P(\varphi(s)) é uma reparametrização. Se \varphi é decrescente, a orientação é invertida (porque à medida que s aumenta percorremos os valores de t na ordem inversa).
Vou aplicar esse princípio em cada item.

Passo 5

  • Dominio original I=[0,\infty).
  • Quero uma função \varphi cuja imagem seja I e que seja decrescente: uma escolha simples é tomar domínio novo J=(-\infty,0] e definir \varphi(s) = -s,\qquad s\in(-\infty,0].Note que \varphi é bijetora de (-\infty,0] sobre [0,\infty) e é estritamente decrescente (se s_{1}<s_{2} então -s_{1}>-s_{2}). Assim Q(s)=P(\varphi(s))=P(-s) reparametriza a curva e inverte a orientação.
  • Escrevendo explicitamente: Q(s) = P(-s) = \big((-s)^{2}-1,\;3(-s)^{2}+2\big) = \big(s^{2}-1,\;3s^{2}+2\big),\qquad s\in(-\infty,0].
  • Verificação intuitiva da inversão: se s cresce em (-\infty,0], então -s decresce em [0,\infty). Logo o parâmetro t=-s percorre os valores de t em ordem decrescente e, portanto, a semirreta é percorrida no sentido inverso (do infinito para (-1,2)), que é exatamente -\gamma para o caso (i).

Passo 6

  • Dominio original I=\mathbb{R}. Uma bijeção decrescente simples de \mathbb{R} sobre \mathbb{R} é \varphi(s)=-s (agora com s\in\mathbb{R}). Defino Q(s)=P(-s),\qquad s\in\mathbb{R}.Esta \varphi é decrescente e bijetora, logo formalmente reparametriza trocando a ordem dos valores de t.
  • Contudo, atenção importante (situação prática e sutil): como P é uma função par (dependente apenas de t^{2}), tem P(-s)=P(s). Portanto a expressão Q(s)=P(-s) coincide ponto a ponto com P(s). Interpretando literalmente o movimento: quando s cresce de -\infty a +\infty, a sequência de pontos visitados por Q é a mesma que a visitada por P (porque Q(s)=P(s) para todo s). Em termos da ordem de travessia da semirreta, reverter a ordem dos t-valores não altera o caminho efetivo percebido na imagem, porque o caminho original já percorria a semirreta de infinito para (-1,2) e depois de (-1,2) para infinito (palíndromo temporal): inverter esse “palíndromo” dá de novo o mesmo comportamento.
  • Conclusão prática para (ii):
    • Formalmente, \varphi(s)=-s é uma reparametrização decrescente de \mathbb{R} e Q(s)=P(-s) é uma reparametrização que, em termos do parâmetro, inverte a ordem dos valores de t.
    • Porém, porque P é par ( P(-t)=P(t)), a imagem e a maneira como a semirreta é percorrida ao longo de s permanecem as mesmas; não há uma reparametrização contínua bijetora que transforme a parametrização dada em uma que percorra a semirreta exatamente na ordem oposta ponto a ponto (o problema é que a parametrização original já percorre a semirreta em ambos os sentidos devido à não-injetividade). Se o objetivo for inverter a orientação do trajeto quando este é considerado como curva simples (cada ponto uma única vez), é necessário restringir o domínio (por exemplo ao intervalo [0,\infty)) e então aplicar a reparametrização do item (i).

Resposta

(i) A imagem é a semirreta \{(x,y)\mid y=3x+5,\;x\ge -1\} orientada de (-1,2) para o infinito. Uma reparametrização que dá -\gamma é
Q(s)=P(-s)=\big(s^{2}-1,\;3s^{2}+2\big),\qquad s\in(-\infty,0].
(ii) A imagem é a mesma semirreta \{(x,y)\mid y=3x+5,\;x\ge -1\}, mas a parametrização em \mathbb{R} percorre essa semirreta duas vezes (de \infty a (-1,2) quando t vai de -\infty a 0 e de (-1,2) a \infty quando t vai de 0 a +\infty). Formalmente pode-se tomar
Q(s)=P(-s),\qquad s\in\mathbb{R},
porém P(-s)=P(s), logo essa reparametrização coincide ponto a ponto com a original; devido à paridade de P não existe uma reparametrização contínua bijetora em \mathbb{R} que inverta globalmente a orientação de maneira não ambígua sem primeiro restringir o domínio (por exemplo ao caso (i)).

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