Calcule o limite, se existir.
lim _{x \rightarrow 1}\left[\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^{2}-1}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to1}\Bigl[\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^{2}-1}\Bigr].
O conteúdo é limite de função racional que dá forma indefinida, e vamos usar fatoração e soma de frações para simplificar.

Passo 2

Note que
x^2-1=(x-1)(x+1).
Colocando as frações sobre o mesmo denominador, temos
\frac{1}{x-1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}, \quad \frac{2}{x^2-1}=\frac{2}{(x-1)(x+1)}.
Logo,
\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1} =\frac{x+1-2}{(x-1)(x+1)}.

Passo 3

No numerador aparece
x+1-2=x-1,
então
\frac{x+1-2}{(x-1)(x+1)} =\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}.
Para x\neq1 podemos cancelar x-1, ficando
\frac{1}{x+1}.

Passo 4

A função \frac{1}{x+1} é contínua em x=1, logo
\lim_{x\to1}\frac{1}{x+1} =\frac{1}{1+1} =\frac{1}{2}.

Resposta

\frac{1}{2}

Exercícios relacionados