Calcule o limite, se existir.
lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-\sqrt{3 x-2}}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to2}\frac{x-\sqrt{3x-2}}{x^2-4}.
Observe que, ao substituir x=2, o numerador e o denominador ficam 0, ou seja, temos forma indeterminada 0/0. Vamos usar o truque de multiplicar pelo conjugado para eliminar a raiz.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador por x+\sqrt{3x-2}, obtendo
\frac{(x-\sqrt{3x-2})(x+\sqrt{3x-2})}{(x^2-4)\,(x+\sqrt{3x-2})} =\frac{x^2-(3x-2)}{(x^2-4)\,(x+\sqrt{3x-2})}.

Passo 3

Simplificamos o numerador e o denominador:
x^2-(3x-2)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2),
x^2-4=(x-2)(x+2).
Assim,
\frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)\,(x+\sqrt{3x-2})} =\frac{x-1}{(x+2)\,(x+\sqrt{3x-2})},
válido para x\neq2.

Passo 4

Agora substituímos x=2 na forma simplificada:
\frac{2-1}{(2+2)\,\bigl(2+\sqrt{6-2}\bigr)} =\frac{1}{4\,(2+2)} =\frac{1}{16}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{16}

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