Exercício 1 - Limite com função composta

Calcule:
\lim _{x \rightarrow 2} \sqrt{\frac{x^{2}+2 x-8}{x-2}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to2}\sqrt{\frac{x^{2}+2x-8}{x-2}}.
O conteúdo envolve limites de funções compostas, eliminação de indeterminações e uso da continuidade da raiz quadrada.

Passo 2

Para remover a indeterminação do tipo 0/0, fatoramos o numerador:
x^2+2x-8=(x-2)(x+4).
Assim, para x\neq2,
\frac{x^2+2x-8}{x-2}=x+4.
No entorno de x=2 temos x+4>0, de modo que a raiz quadrada está bem definida.

Passo 3

Substituindo na expressão original, a parte interna da raiz fica x+4. Calculamos
\lim_{x\to2}(x+4)=6.

Passo 4

Como \sqrt{\,\cdot\,} é contínua em [0,\infty) e o limite interno é 6\ge0, podemos passar o limite para dentro da raiz:
\lim_{x\to2}\sqrt{\frac{x^2+2x-8}{x-2}} =\sqrt{\lim_{x\to2}(x+4)} =\sqrt{6}.

Resposta

\sqrt{6}

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