A função é a razão de dois polinômios, com numerador x^{4}-x+3 e denominador x^{2}+x-2.
A variável x tende para +\infty.
Passo 2
Ideia geral (regra prática para racional): quando temos uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} onde P e Q são polinômios, o comportamento do limite em x\to\pm\infty é determinado pelos graus dos polinômios:
Se \deg P < \deg Q então o limite é 0.
Se \deg P = \deg Q então o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Se \deg P > \deg Q então o valor absoluto da razão cresce sem limite (tende a \pm\infty); o sinal é dado pelos sinais dos coeficientes principais quando x\to+\infty.
Aqui o numerador tem grau \,4 e o denominador tem grau \,2, ou seja \deg P > \deg Q. Isso já indica que o limite será infinito (não finito). Vou mostrar isso de forma explícita e cuidadosa.
Passo 3
Transformação algébrica útil: dividir numerador e denominador pela maior potência conveniente para ver os termos que dominam quando x\to+\infty. Divido por x^{2} (o grau do denominador):
Explicando: o termo dominante do numerador é x^{2}, que tende a +\infty; os outros termos são pequenas correções que tendem a 0. O denominador tende para o número 1, que é positivo.
Passo 5
Usar o fato: se f(x)\to +\infty e g(x)\to c com c>0, então \dfrac{f(x)}{g(x)}\to +\infty. Aplicando isso à expressão transformada,
o numerador tende a +\infty e o denominador tende a 1>0, logo a razão tende a +\infty.
Também, pensando em termos de termos principais: para x grande