Calcule o limite, se existir:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x^{4}-x+3}{x^{2}+x-2}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^{4}-x+3}{x^{2}+x-2}\right).
Informações dadas:
  • A função é a razão de dois polinômios, com numerador x^{4}-x+3 e denominador x^{2}+x-2.
  • A variável x tende para +\infty.

Passo 2

Ideia geral (regra prática para racional): quando temos uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} onde P e Q são polinômios, o comportamento do limite em x\to\pm\infty é determinado pelos graus dos polinômios:
  • Se \deg P < \deg Q então o limite é 0.
  • Se \deg P = \deg Q então o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
  • Se \deg P > \deg Q então o valor absoluto da razão cresce sem limite (tende a \pm\infty); o sinal é dado pelos sinais dos coeficientes principais quando x\to+\infty.
Aqui o numerador tem grau \,4 e o denominador tem grau \,2, ou seja \deg P > \deg Q. Isso já indica que o limite será infinito (não finito). Vou mostrar isso de forma explícita e cuidadosa.

Passo 3

Transformação algébrica útil: dividir numerador e denominador pela maior potência conveniente para ver os termos que dominam quando x\to+\infty. Divido por x^{2} (o grau do denominador):
\frac{x^{4}-x+3}{x^{2}+x-2} = \frac{x^{2}-\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x^{2}}}{1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}}.

Passo 4

Analisar os limites dos termos menores quando x\to+\infty:
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0.
Portanto, na expressão do numerador e denominador:
\text{o numerador } x^{2}-\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x^{2}} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty, \qquad \text{o denominador } 1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^{2}} \xrightarrow[x\to+\infty]{} 1.
Explicando: o termo dominante do numerador é x^{2}, que tende a +\infty; os outros termos são pequenas correções que tendem a 0. O denominador tende para o número 1, que é positivo.

Passo 5

Usar o fato: se f(x)\to +\infty e g(x)\to c com c>0, então \dfrac{f(x)}{g(x)}\to +\infty. Aplicando isso à expressão transformada,
o numerador tende a +\infty e o denominador tende a 1>0, logo a razão tende a +\infty.
Também, pensando em termos de termos principais: para x grande
\frac{x^{4}-x+3}{x^{2}+x-2}\sim \frac{x^{4}}{x^{2}}=x^{2},
e \lim_{x\to+\infty} x^{2}=+\infty, confirmando o resultado.

Resposta

+\infty

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