Calcule o limite, se existir:
\lim _{x \rightarrow-1}\left(x^{3}+x^{2}+3\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \displaystyle\lim_{x\to-1}\bigl(x^{3}+x^{2}+3\bigr).
Informações dadas:
  • A função cuja limite é pedido é f(x)=x^{3}+x^{2}+3.
  • O ponto de interesse é x\to-1.

Passo 2

Ideia principal (ferramentas que vamos usar) — leis básicas de limites e continuidade informal:
  • Existe uma propriedade básica de limites que diz que o limite da soma é a soma dos limites, e o limite do produto é o produto dos limites, sempre que os limites envolvidos existirem.
  • Em particular, se \displaystyle\lim_{x\to a}x=a, então, pela lei do produto, \displaystyle\lim_{x\to a}x^{2}=\bigl(\lim_{x\to a}x\bigr)^{2}=a^{2} e \displaystyle\lim_{x\to a}x^{3}=a^{3}.
  • Usando essas leis, para polinômios (somas de potências de x com coeficientes constantes) o limite no ponto é simplesmente o polinômio avaliado nesse ponto. Em linguagem simples: polinômios são funções contínuas, então podemos substituir x=a para obter o limite.
Vou aplicar isso ao nosso caso com a=-1.

Passo 3

Aplicando as leis de limite componente a componente:
\lim_{x\to-1}\bigl(x^{3}+x^{2}+3\bigr) = \lim_{x\to-1}x^{3} \;+\; \lim_{x\to-1}x^{2} \;+\; \lim_{x\to-1}3.
Agora substituo usando \lim_{x\to-1}x=-1:
\lim_{x\to-1}x^{3}=(-1)^{3},\qquad \lim_{x\to-1}x^{2}=(-1)^{2},\qquad \lim_{x\to-1}3=3.

Passo 4

Faço as contas das potências passo a passo:
(-1)^{3} = -1, \qquad (-1)^{2} = 1.
Somando:
-1 + 1 + 3 = 3.

Resposta

3

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