Calcule o limite, se existir:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{x^{2}-x+3}{x^{3}+2 x-2}\right)

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{x^{2}-x+3}{x^{3}+2x-2}\right).
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio \,x^{2}-x+3\, (grau 2).
  • O denominador é o polinômio \,x^{3}+2x-2\, (grau 3).
  • A variável x tende para -\infty (isto é, para valores muito negativos).

Passo 2

Ideia e regra geral que vamos usar (explicada passo a passo):
  • Para limites infinitos de funções racionais (frações de polinômios), o comportamento quando |x| é muito grande é dominado pelos termos de maior grau de numerador e denominador.
  • Regra prática: se o grau do numerador é menor que o do denominador, a fração tende a 0 quando x\to\pm\infty. Vamos demonstrar isso dividindo numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador (aqui x^{3}).

Passo 3

Dividimos numerador e denominador por x^{3}. Escrevo a expressão transformada:
\frac{x^{2}-x+3}{x^{3}+2x-2} = \frac{\dfrac{x^{2}}{x^{3}}-\dfrac{x}{x^{3}}+\dfrac{3}{x^{3}}}{\dfrac{x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{2x}{x^{3}}-\dfrac{2}{x^{3}}} = \frac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{3}{x^{3}}}{1+\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{2}{x^{3}}}.

Passo 4

Agora analisamos o limite termo a termo quando x\to -\infty:
  • Para qualquer inteiro positivo k vale \dfrac{1}{x^{k}}\to 0 quando x\to -\infty. (Porque o denominador cresce em módulo e a fração tende a zero.)
    Portanto,
\frac{1}{x}\to 0,\qquad \frac{1}{x^{2}}\to 0,\qquad \frac{1}{x^{3}}\to 0.

Passo 5

Usando o comportamento dos termos na expressão da Fração, o numerador da fração transformada tende a 0 e o denominador tende a 1. Assim, pelo teorema do limite do quociente (quando o limite do denominador é diferente de zero),
\lim_{x\to -\infty}\frac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{3}{x^{3}}}{1+\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{2}{x^{3}}} = \frac{0}{1}=0.

Passo 6

Comentário intuitivo de verificação (opcional, para sentir o sinal): para x com grande valor absoluto e negativo, o numerador \,x^{2}-x+3\, é positivo (pois x^{2} domina) e o denominador \,x^{3}+2x-2\, é negativo (pois x^{3} domina e é negativo quando x é negativo). Assim a fração é negativa para x muito negativo, mas seu valor absoluto tende a 0. Isso confirma que o limite é 0 (mais precisamente tende a 0 por valores negativos).

Resposta

0

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