Calcule o limite, se existir:
Passo 1
O problema pede calcular o limite
Informações dadas:
- O numerador é o polinômio
(grau ). - O denominador é o polinômio
(grau ). - A variável
tende para (isto é, para valores muito negativos).
Passo 2
Ideia e regra geral que vamos usar (explicada passo a passo):
- Para limites infinitos de funções racionais (frações de polinômios), o comportamento quando
é muito grande é dominado pelos termos de maior grau de numerador e denominador. - Regra prática: se o grau do numerador é menor que o do denominador, a fração tende a
quando . Vamos demonstrar isso dividindo numerador e denominador pela maior potência de que aparece no denominador (aqui ).
Passo 3
Dividimos numerador e denominador por
. Escrevo a expressão transformada:
Passo 4
Agora analisamos o limite termo a termo quando
:
- Para qualquer inteiro positivo
vale quando . (Porque o denominador cresce em módulo e a fração tende a zero.)
Portanto,
Passo 5
Usando o comportamento dos termos na expressão da Fração, o numerador da fração transformada tende a
e o denominador tende a
. Assim, pelo teorema do limite do quociente (quando o limite do denominador é diferente de zero),
Passo 6
Comentário intuitivo de verificação (opcional, para sentir o sinal): para
com grande valor absoluto e negativo, o numerador
é positivo (pois
domina) e o denominador
é negativo (pois
domina e é negativo quando
é negativo). Assim a fração é negativa para
muito negativo, mas seu valor absoluto tende a
. Isso confirma que o limite é
(mais precisamente tende a
por valores negativos).