O enunciado pede calcular claramente o seguinte limite:
\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^{2}+x-3\bigr).
Informações que temos (diretamente do enunciado):
A função cujo limite queremos é um polinômio de segundo grau x^{2}+x-3.
O ponto em que a variável se aproxima é +\infty (isto é, x cresce sem limite para valores positivos).
Passo 2
Ideia útil (intuição que depois vamos justificar): para x muito grande o termo de maior grau (x^{2}) domina os demais termos. Para tornar isso claro e rigoroso, fatoramos x^{2} do polinômio:
Sabendo que o parêntese tende a 1, podemos usar um argumento de comparação para concluir sobre o produto com x^{2}.
Escolhemos \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Como o parêntese tende a 1, existe M>0 (por exemplo M=4) tal que, para todo x>M,
Como \lim_{x\to+\infty} \tfrac{1}{2}x^{2}=+\infty, pelo critério da comparação o produto x^{2}\!\left(1+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^{2}}\right) também tende a +\infty.
Passo 5
Conclusão final e observação prática para provas: o termo dominante de um polinômio determina o comportamento para x\to+\infty. Aqui o termo dominante é x^{2} com coeficiente positivo 1, portanto o polinômio cresce sem limite positivo. Em linguagem curta: como o grau é 2 (par) e o coeficiente líder é positivo, o limite quando x\to+\infty é +\infty.