Calcule o limite, se existir:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}
Calcule o limite, se existir:
\lim _{x \rightarrow+\infty} 2+\frac{1}{\sqrt{x}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Pede-se calcular o limite \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}.
  • Pede-se calcular o limite \lim_{x\to+\infty}\left(2+\frac{1}{\sqrt{x}}\right).
  • Informação útil: a variável x tende para +\infty, ou seja x fica arbitrariamente grande e positivo.

Passo 2

Entender o comportamento de \sqrt{x} quando x\to+\infty.
  • A função \sqrt{x} é definida e crescente para x\ge 0.
  • Quando x cresce sem limite (isto é, x\to+\infty), a raiz quadrada também cresce sem limite: \sqrt{x}\to+\infty.
  • Intuição prática: se x dobra ou triplica, \sqrt{x} também aumenta sem limite; portanto o denominador \sqrt{x} da fração \dfrac{1}{\sqrt{x}} fica muito grande quando x cresce.

Passo 3

Raciocínio intuitivo para \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
  • Como \sqrt{x}\to+\infty quando x\to+\infty, o inverso \dfrac{1}{\sqrt{x}} deve ficar cada vez menor, aproximando-se de zero.
  • Isto já dá a ideia de que a fração tende a zero, mas vamos transformar essa ideia numa justificativa formal que serve numa prova.

Passo 4

Prova formal (vareta-ε) de que \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=0.
  • Objetivo da definição: mostrar que para todo \varepsilon>0 existe M>0 tal que, se x>M, então \left|\dfrac{1}{\sqrt{x}}-0\right|<\varepsilon.
  • Começamos com a desigualdade desejada: \left|\frac{1}{\sqrt{x}}-0\right|=\frac{1}{\sqrt{x}}<\varepsilon.
  • Resolver para x: a condição \dfrac{1}{\sqrt{x}}<\varepsilon é equivalente (para \varepsilon>0) a \sqrt{x}>\frac{1}{\varepsilon}.Elevando ao quadrado (tudo positivo) obtemos x>\frac{1}{\varepsilon^{2}}.
  • Portanto, basta escolher M=\frac{1}{\varepsilon^{2}}.Com esse M, sempre que x>M tem-se \dfrac{1}{\sqrt{x}}<\varepsilon, o que cumpre a definição de limite no infinito.
  • Conclusão formal: o limite de \dfrac{1}{\sqrt{x}} quando x\to+\infty é 0.

Passo 5

Usar o resultado anterior para calcular \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(2+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) aplicando propriedades de limites.
  • Propriedade usada: se \lim_{x\to a} f(x)=L e c é constante, então \lim_{x\to a} (c+f(x))=c+L.
  • Já mostramos que \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=0.
  • A função constante 2 tem limite 2 quando x\to+\infty.
  • Aplicando a propriedade da soma de limites, o limite pedido é 2+0.

Passo 6

Prova rápida por \varepsilon para a soma (opcional, mas útil em prova).
  • Queremos mostrar: para todo \varepsilon>0 existe M tal que, se x>M, então \left| \left(2+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)-2\right|<\varepsilon.
  • Note que \left| \left(2+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)-2\right|=\frac{1}{\sqrt{x}}.
  • Já no Passo 4 escolhemos M=1/\varepsilon^{2} para controlar \dfrac{1}{\sqrt{x}}. Assim, com esse mesmo M temos a condição desejada.
  • Isso confirma de forma direta que o segundo limite é 2.

Resposta

\displaystyle 0
\displaystyle 2

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