Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
Pede-se calcular o limite\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}.
Pede-se calcular o limite\lim_{x\to+\infty}\left(2+\frac{1}{\sqrt{x}}\right).
Informação útil: a variável x tende para +\infty, ou seja x fica arbitrariamente grande e positivo.
Passo 2
Entender o comportamento de \sqrt{x} quando x\to+\infty.
A função \sqrt{x} é definida e crescente para x\ge 0.
Quando x cresce sem limite (isto é, x\to+\infty), a raiz quadrada também cresce sem limite: \sqrt{x}\to+\infty.
Intuição prática: se x dobra ou triplica, \sqrt{x} também aumenta sem limite; portanto o denominador \sqrt{x} da fração \dfrac{1}{\sqrt{x}} fica muito grande quando x cresce.
Passo 3
Raciocínio intuitivo para \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
Como \sqrt{x}\to+\infty quando x\to+\infty, o inverso \dfrac{1}{\sqrt{x}} deve ficar cada vez menor, aproximando-se de zero.
Isto já dá a ideia de que a fração tende a zero, mas vamos transformar essa ideia numa justificativa formal que serve numa prova.
Passo 4
Prova formal (vareta-ε) de que \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=0.
Objetivo da definição: mostrar que para todo \varepsilon>0 existe M>0 tal que, se x>M, então \left|\dfrac{1}{\sqrt{x}}-0\right|<\varepsilon.
Começamos com a desigualdade desejada:\left|\frac{1}{\sqrt{x}}-0\right|=\frac{1}{\sqrt{x}}<\varepsilon.
Resolver para x: a condição \dfrac{1}{\sqrt{x}}<\varepsilon é equivalente (para \varepsilon>0) a\sqrt{x}>\frac{1}{\varepsilon}.Elevando ao quadrado (tudo positivo) obtemosx>\frac{1}{\varepsilon^{2}}.
Portanto, basta escolherM=\frac{1}{\varepsilon^{2}}.Com esse M, sempre que x>M tem-se \dfrac{1}{\sqrt{x}}<\varepsilon, o que cumpre a definição de limite no infinito.
Conclusão formal: o limite de \dfrac{1}{\sqrt{x}} quando x\to+\infty é 0.
Passo 5
Usar o resultado anterior para calcular \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(2+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) aplicando propriedades de limites.
Propriedade usada: se \lim_{x\to a} f(x)=L e c é constante, então \lim_{x\to a} (c+f(x))=c+L.
Já mostramos que \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=0.
A função constante 2 tem limite 2 quando x\to+\infty.
Aplicando a propriedade da soma de limites, o limite pedido é 2+0.
Passo 6
Prova rápida por \varepsilon para a soma (opcional, mas útil em prova).
Queremos mostrar: para todo \varepsilon>0 existe M tal que, se x>M, então\left| \left(2+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)-2\right|<\varepsilon.