Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2} e^{y}}{x^{4}+4 y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y^{2}\,e^{y}}{x^{4}+4\,y^{2}},
que é um limite de função de duas variáveis. Vamos mostrar que esse limite existe e vale zero usando um argumento de confronto (teorema do sanduíche), fundamentado em desigualdades que dominam o valor absoluto da função.

Passo 2

Primeiro, note que e^{y} é contínua em y=0, logo em uma vizinhança de y=0 temos
\lvert e^{y}\rvert \le e.

Passo 3

Com isso, podemos estimar o numerador em valor absoluto:
\bigl\lvert x\,y^{2}\,e^{y}\bigr\rvert \le e\,\lvert x\rvert\,y^{2}.

Passo 4

Por outro lado, o denominador satisfaz
x^{4} + 4\,y^{2} \ge 4\,y^{2},
de modo que, para (x,y)\neq(0,0),
\left\lvert \frac{x\,y^{2}\,e^{y}}{x^{4}+4\,y^{2}}\right\rvert \le \frac{e\,\lvert x\rvert\,y^{2}}{4\,y^{2}} = \frac{e}{4}\,\lvert x\rvert.

Passo 5

Como \lvert x\rvert \to 0 quando (x,y)\to(0,0), a desigualdade
\left\lvert \frac{x\,y^{2}\,e^{y}}{x^{4}+4\,y^{2}}\right\rvert \le \frac{e}{4}\,\lvert x\rvert
mostra, pelo teorema do confronto, que
\frac{x\,y^{2}\,e^{y}}{x^{4}+4\,y^{2}} \;\longrightarrow\; 0.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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