Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1}\

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1}.
O conteúdo é cálculo de limite de função de duas variáveis, e vamos usar uma mudança para coordenada radial conjunta e a técnica de racionalização de denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Definimos
r^{2} = x^{2}+y^{2},
de modo que quando (x,y)\to(0,0) temos r\to 0. A função passa a ser
\frac{r^{2}}{\sqrt{r^{2}+1}-1}.

Passo 3

Para eliminar a raiz no denominador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{r^{2}+1}+1:
\frac{r^{2}}{\sqrt{r^{2}+1}-1}\;\cdot\;\frac{\sqrt{r^{2}+1}+1}{\sqrt{r^{2}+1}+1} =\frac{r^{2}\,\bigl(\sqrt{r^{2}+1}+1\bigr)}{(\sqrt{r^{2}+1}-1)(\sqrt{r^{2}+1}+1)} =\frac{r^{2}\,\bigl(\sqrt{r^{2}+1}+1\bigr)}{r^{2}}.
Cancelando r^{2}\neq 0 (para r\neq0) obtemos \sqrt{r^{2}+1}+1.

Passo 4

Agora basta fazer r\to0:
\lim_{r\to0}\bigl(\sqrt{r^{2}+1}+1\bigr) =\sqrt{0+1}+1 =1+1 =2.

Resposta

2

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