Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}
ou a demonstração de que ele não existe. O conteúdo aqui é análise de limites em duas variáveis e vamos usar uma estimativa (Teorema do Confronto, ou “squeeze theorem”) para provar que o limite existe e vale zero.

Passo 2

Começamos estimando o numerador em valor absoluto:
\bigl|x^{3}+y^{3}\bigr|\le |x|^{3}+|y|^{3}.
Além disso, como \sqrt{x^{2}+y^{2}} é maior ou igual a cada |x| e a cada |y|, temos
|x|^{3}\le \bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)^{3} \quad\text{e}\quad |y|^{3}\le \bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)^{3}.
Logo,
|x|^{3}+|y|^{3}\le 2\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)^{3} =2\,(x^{2}+y^{2})^{3/2}.

Passo 3

Agora analisamos o quociente em valor absoluto:
\left|\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right| \le \frac{2\,(x^{2}+y^{2})^{3/2}}{x^{2}+y^{2}} =2\,(x^{2}+y^{2})^{1/2}.
Mas (x^{2}+y^{2})^{1/2} é justamente a distância de (x,y) a (0,0). Portanto, quando (x,y)\to(0,0), temos
2\,(x^{2}+y^{2})^{1/2}\;\longrightarrow\;0.

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, como
0 \le \left|\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le 2\,(x^{2}+y^{2})^{1/2}
e o lado direito tende a zero, concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} = 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados