Calcule o limite se existirem:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{9 x^{2} \operatorname{cossec}(3 x)}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se calcular o limite
\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(3x)}{9x^{2}\,\operatorname{cossec}(3x)}.
  • Informações dadas (apenas reescritas): aparece \operatorname{sen}(3x) e \operatorname{cossec}(3x) no numerador e denominador, e o ponto de limite é x\to0.

Passo 2

Simplificar a expressão usando a identidade trigonométrica \operatorname{cossec}(t)=\dfrac{1}{\sin t}.
Aplicando isso com t=3x obtemos
\frac{\operatorname{sen}(3x)}{9x^{2}\,\operatorname{cossec}(3x)} = \frac{\sin(3x)}{9x^{2}\cdot \dfrac{1}{\sin(3x)}} = \frac{\sin^{2}(3x)}{9x^{2}}.

Passo 3

Reescrever a fração de forma a evidenciar o limite fundamental \lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1.
Observe que
\frac{\sin^{2}(3x)}{9x^{2}}=\frac{\sin^{2}(3x)}{(3x)^{2}} =\left(\frac{\sin(3x)}{3x}\right)^{2}.

Passo 4

Lembrar e justificar o limite fundamental usado.
Fato conhecido e muito usado em provas:
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.
Motivo (rápido e intuitivo): pela expansão em série (ou pela desigualdade geométrica/squeeze), para t pequeno vale \sin t = t - \dfrac{t^{3}}{6} + o(t^{3}), logo \dfrac{\sin t}{t}=1 - \dfrac{t^{2}}{6}+o(t^{2}) e tende a 1 quando t\to0. Se preferir, pode lembrar a prova geométrica que usa comparações com arcos e triângulos; o importante é aceitar este limite padrão.

Passo 5

Aplicar o limite à nossa expressão, usando a substituição t=3x. Quando x\to0 temos t=3x\to0, então
\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{3x}=1.
Daí, pelo passo 3,
\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin(3x)}{3x}\right)^{2}=1^{2}=1.

Passo 6

Conclusão final: o limite existe e vale 1.

Resposta

1

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