Calcule o limite se existirem:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se calcular o limite
- Informações dadas (apenas reescritas): aparece
e no numerador e denominador, e o ponto de limite é .
Passo 2
Simplificar a expressão usando a identidade trigonométrica
.
Aplicando isso com
obtemos
Passo 3
Reescrever a fração de forma a evidenciar o limite fundamental
.
Observe que
Passo 4
Lembrar e justificar o limite fundamental usado.
Fato conhecido e muito usado em provas:
Motivo (rápido e intuitivo): pela expansão em série (ou pela desigualdade geométrica/squeeze), para
pequeno vale
, logo
e tende a
quando
. Se preferir, pode lembrar a prova geométrica que usa comparações com arcos e triângulos; o importante é aceitar este limite padrão.
Passo 5
Aplicar o limite à nossa expressão, usando a substituição
. Quando
temos
, então
Daí, pelo passo 3,
Passo 6
Conclusão final: o limite existe e vale
.
Resposta
1