Se
em que
determine o valor de
quando
e
.
Passo 1
O problema dá a função
onde
dependem de
pela relações (estas são informações do enunciado):
Pede-se o valor de
no ponto
.
Ou seja, queremos a derivada parcial de em relação a
, mantendo
e
constantes, avaliando depois em
.
Ou seja, queremos a derivada parcial de
Passo 2
Entender a regra a usar:
depende de
e cada uma destas depende de
. Quando
e
são mantidos fixos, a derivada parcial segue a regra da cadeia para várias variáveis:
Aqui
significa derivar
tratando
como constantes (mesmo que em realidade dependam de
); análogo para os outros.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
(tratando as outras variáveis como constantes):
Breve explicação: por exemplo, ao derivar
em relação a
tratamos
como constante, então a derivada é
vezes a derivada de
, que é
.
Passo 4
Calcular as derivadas de
em relação a
(mantendo
e
constantes), usando as fórmulas dadas:
Explicação: cada expressão foi derivada em
tratando
e
como constantes (por exemplo, derivada de
é
).
Passo 5
Substituir tudo na fórmula da cadeia para obter uma expressão geral de
:
Passo 6
Agora avaliar no ponto
. Primeiro calcule
nesses valores:
Observe que
e
.
Passo 7
Avaliar as derivadas parciais já encontradas nesses valores:
E as derivadas de
em relação a
no ponto:
Passo 8
Combinar tudo para obter o valor numérico:
Resposta
192