Se
u=x^{4} y+y^{2} z^{3}
em que
x=r s e^{t} . \quad y=r s^{2} e^{t} \text { e } z=r^{2} s \operatorname{sen} t
determine o valor de \frac{\partial u}{\partial s} quando r=2, s=1 e t=0.

Passo 1

O problema dá a função
u = x^{4}y + y^{2}z^{3}
onde x,y,z dependem de (r,s,t) pela relações (estas são informações do enunciado):
x = r s e^{t},\qquad y = r s^{2} e^{t},\qquad z = r^{2} s \sin t.
Pede-se o valor de \dfrac{\partial u}{\partial s} no ponto (r,s,t)=(2,1,0).
Ou seja, queremos a derivada parcial de u em relação a s, mantendo r e t constantes, avaliando depois em r=2,\\ s=1,\\ t=0.

Passo 2

Entender a regra a usar: u depende de x,y,z e cada uma destas depende de s. Quando r e t são mantidos fixos, a derivada parcial segue a regra da cadeia para várias variáveis:
\frac{\partial u}{\partial s} = \frac{\partial u}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s} + \frac{\partial u}{\partial z}\,\frac{\partial z}{\partial s}.
Aqui \dfrac{\partial u}{\partial x} significa derivar u tratando y,z como constantes (mesmo que em realidade dependam de s); análogo para os outros.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u em relação a x,y,z (tratando as outras variáveis como constantes):
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{4}y + y^{2}z^{3}\big) = 4x^{3}y,
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{4}y + y^{2}z^{3}\big) = x^{4} + 2y z^{3},
\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\big(x^{4}y + y^{2}z^{3}\big) = 3 y^{2} z^{2}.
Breve explicação: por exemplo, ao derivar x^4 y em relação a x tratamos y como constante, então a derivada é y vezes a derivada de x^4, que é 4x^3.

Passo 4

Calcular as derivadas de x,y,z em relação a s (mantendo r e t constantes), usando as fórmulas dadas:
x = r s e^{t}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial x}{\partial s}= r e^{t}.
y = r s^{2} e^{t}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial y}{\partial s}= 2 r s e^{t}.
z = r^{2} s \sin t\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial s}= r^{2} \sin t.
Explicação: cada expressão foi derivada em s tratando r e t como constantes (por exemplo, derivada de s^2 é 2s).

Passo 5

Substituir tudo na fórmula da cadeia para obter uma expressão geral de \dfrac{\partial u}{\partial s}:
\frac{\partial u}{\partial s} = \big(4x^{3}y\big)\big(r e^{t}\big) + \big(x^{4}+2y z^{3}\big)\big(2 r s e^{t}\big) + \big(3 y^{2} z^{2}\big)\big(r^{2}\sin t\big).

Passo 6

Agora avaliar no ponto (r,s,t)=(2,1,0). Primeiro calcule x,y,z nesses valores:
x = r s e^{t} = 2\cdot 1 \cdot e^{0} = 2,
y = r s^{2} e^{t} = 2\cdot 1^{2}\cdot e^{0} = 2,
z = r^{2} s \sin t = 2^{2}\cdot 1 \cdot \sin 0 = 4\cdot 0 = 0.
Observe que e^{0}=1 e \sin 0=0.

Passo 7

Avaliar as derivadas parciais já encontradas nesses valores:
\frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{\substack{r=2\s=1\t=0}} = 4x^{3}y = 4\cdot 2^{3}\cdot 2 = 4\cdot 8\cdot 2 = 64,
\frac{\partial u}{\partial y}\Big|_{\substack{r=2\s=1\t=0}} = x^{4} + 2y z^{3} = 2^{4} + 2\cdot 2\cdot 0^{3} = 16 + 0 = 16,
\frac{\partial u}{\partial z}\Big|_{\substack{r=2\s=1\t=0}} = 3 y^{2} z^{2} = 3\cdot 2^{2}\cdot 0^{2} = 0.
E as derivadas de x,y,z em relação a s no ponto:
\frac{\partial x}{\partial s}= r e^{t} = 2\cdot 1 = 2,
\frac{\partial y}{\partial s}= 2 r s e^{t} = 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1 = 4,
\frac{\partial z}{\partial s}= r^{2}\sin t = 4\cdot 0 = 0.

Passo 8

Combinar tudo para obter o valor numérico:
\frac{\partial u}{\partial s}\Big|_{\substack{r=2\s=1\t=0}} = 64\cdot 2 + 16\cdot 4 + 0\cdot 0 = 128 + 64 + 0 = 192.

Resposta

192

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