Encontre os inteiros positivos menores que 10000 e com 60 divisores positivos.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os inteiros positivos
que têm exatamente
divisores positivos.
Informações dadas (o que sabemos do enunciado):
Informações dadas (o que sabemos do enunciado):
- Queremos números
tais que , onde é o número de divisores positivos de . - E também queremos apenas os
com .
Passo 2
Fórmula fundamental que vou usar (explicando devagar): se
é a fatoração em primos distintos, então o número de divisores de
é
Aqui cada
é o expoente do primo
. A razão: para cada primo
podemos escolher o expoente de
a
na construção de um divisor, e multiplicando as opções obtemos
.
Portanto precisamos achar todas as tuplas de inteiros positivos tais que
Portanto precisamos achar todas as tuplas de inteiros positivos
e depois verificar quais dessas tuplas, atribuídas a primos, geram
.
Passo 3
Fazer as “partições multiplicativas” de
em fatores inteiros
(cada fator será um
). As decomposições (não ordenadas) possíveis são:
-
(um fator) → . -
→ . -
→ . -
→ . -
→ . -
→ . -
→ . -
→ . -
→ . -
→ . -
→ .
Cada tupla acima significa que os expoentes possíveis são os valores correspondentes (por exemplo
corresponde a um número com forma
com primos distintos).
Passo 4
Critério prático para eliminar muitas tuplas rapidamente: dado um padrão de expoentes
, o menor
que ele pode gerar é obtido atribuindo o maior expoente ao menor primo
, o segundo maior ao
, e assim por diante. Se esse menor
já for
, então todas as outras atribuições (que colocam expoentes grandes em primos maiores) também serão
. Vou usar isso repetidamente.
Observação rápida e útil:
. Assim qualquer padrão que force um expoente
em algum primo dá um
maior que
independentemente de outros fatores, porque pelo menos
já ultrapassa
.
Passo 5
Eliminar padrões com expoente muito grande:
-
, , , , têm um expoente , logo impossíveis porque . - Verificar
: o menor aqui é . Impossível. - Verificar
: o menor é . Impossível. - Verificar
: menor é . Impossível. - Verificar
: menor é . Impossível. - Verificar
: menor é . Impossível.
Depois dessas eliminações, sobrou apenas o padrão
isto é, números da forma
com
primos distintos. Esse é o único padrão que pode produzir
.
Passo 6
Agora vamos enumerar todos os números da forma
com
primos distintos e
. Como sugeri antes, para tornar a busca eficiente, tomo
(o primo com expoente
) e verifico quais escolhas de
cabem no limite. Para cada escolha, calculo diretamente
.
Reescrevendo a condição:
Vou testar
em ordem crescente (começando em
).
Passo 7
Caso
. Temos
, então
Os primos
devem ser distintos entre si e distintos de
. Vamos testar possibilidades para
(o primo com expoente
):
-
Se
então e precisamos de . Os primos possíveis para (distintos de ) são . Procuramos pares distintos com . Esses pares são: -
com . -
com . -
com .
Para cada par calculo: -
-
-
-
-
Se
então e precisamos de . Primos disponíveis (não ) começam em . Pares distintos possíveis com produto : -
com . Assim
Não há outros pares porque. -
-
Se
então e , mas o menor produto de dois primos distintos (diferentes de e ) é . Logo não há soluções para .
Portanto, para
encontramos os valores
.
Passo 8
Verificar
. Aqui
, então
Testar
possíveis (primos distintos de
):
-
: e . Mas os dois menores primos disponíveis são e e . Logo não há pares. -
: e , impossível. -
: e o resto ainda menor, impossível.
Logo não há soluções com
.
Passo 9
Verificar
. Temos
, então
Mesmo com
(o menor possível),
e então
, o que não é possível para dois primos distintos (o menor produto é
se excluímos
e
). Portanto nenhuma solução com
.
Para
temos
e então
, impossível obter
inteiro
. Assim não há soluções adicionais.
Passo 10
Conclusão da enumeração: as únicas soluções são as encontradas no caso
. Vou listar os valores finais (ordenei em ordem crescente para ficar mais legível).