Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
,
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão envolve três termos:
, e . - A presença de
remete à raiz quadrada real, que só está definida para no conjunto dos números reais. - O termo
não está definido em e tende a crescer quando se aproxima de . - O enunciado usa
sem especificar lateralidade; portanto, devemos verificar se o limite bilateral existe. Se a função existir apenas para um lado, então o limite bilateral não existe e só faz sentido falar em limite lateral.
Passo 2
Determinar o domínio onde a expressão é bem definida:
-
exige . -
exige .
Combinando, a expressão está definida para(ou seja, somente à direita de ). Logo, apenas o limite à direita pode ser considerado na forma usual; o limite à esquerda não existe porque a função não está definida para .
Passo 3
Analisar o comportamento de cada termo quando
:
-
porque tende a mais rápido que . -
porque a raiz quadrada de um número pequeno e positivo é um número pequeno e positivo. -
porque ao dividir por um número positivo que vai para o resultado cresce sem limite.
Como
tende a
e os outros dois termos tendem a
, intuitivamente a soma tende a
. Agora vamos formalizar essa ideia com uma demonstração do tipo "diverge para
".
Passo 4
Prova formal de que
.
Queremos mostrar: para todo
existe
tal que, se
, então
Observe que para
vale
e
. Portanto, para
,
Para garantir
é suficiente escolher
tal que
, isto é
.
Defina
Então, se
temos
e
, logo
Isso prova a condição necessária para divergência para
. Portanto
Passo 5
Concluir sobre o limite bilateral
:
- Para que o limite bilateral
exista (como número finito ou infinito), é preciso que ambos os limites laterais existam e coincidam. - Aqui a função não está definida para
, então não existe como limite de valores reais (nem como nem como número finito). - Logo o limite bilateral
não existe. - Entretanto, o limite lateral à direita existe e é
, como provado.
Resposta
O limite bilateral não existe.