Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
(k) \lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{3}+\sqrt{x}+\frac{1}{x^{2}}\right),

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left(x^{3}+\sqrt{x}+\frac{1}{x^{2}}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão envolve três termos: x^{3}, \sqrt{x} e \dfrac{1}{x^{2}}.
  • A presença de \sqrt{x} remete à raiz quadrada real, que só está definida para x\ge 0 no conjunto dos números reais.
  • O termo \dfrac{1}{x^{2}} não está definido em x=0 e tende a crescer quando x se aproxima de 0.
  • O enunciado usa \lim_{x\to 0} sem especificar lateralidade; portanto, devemos verificar se o limite bilateral existe. Se a função existir apenas para um lado, então o limite bilateral não existe e só faz sentido falar em limite lateral.

Passo 2

Determinar o domínio onde a expressão é bem definida:
  • \sqrt{x} exige x\ge 0.
  • \dfrac{1}{x^{2}} exige x\neq 0.
    Combinando, a expressão está definida para x>0 (ou seja, somente à direita de 0). Logo, apenas o limite à direita \lim_{x\to 0^{+}} pode ser considerado na forma usual; o limite à esquerda \lim_{x\to 0^{-}} não existe porque a função não está definida para x<0.

Passo 3

Analisar o comportamento de cada termo quando x\to 0^{+}:
  • \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} x^{3}=0 porque x^{3} tende a 0 mais rápido que x.
  • \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \sqrt{x}=0 porque a raiz quadrada de um número pequeno e positivo é um número pequeno e positivo.
  • \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \frac{1}{x^{2}}=+\infty porque ao dividir 1 por um número positivo que vai para 0 o resultado cresce sem limite.
Como \dfrac{1}{x^{2}} tende a +\infty e os outros dois termos tendem a 0, intuitivamente a soma tende a +\infty. Agora vamos formalizar essa ideia com uma demonstração do tipo "diverge para +\infty".

Passo 4

Prova formal de que \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\left(x^{3}+\sqrt{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)=+\infty.
Queremos mostrar: para todo M>0 existe \delta>0 tal que, se 0<x<\delta, então
x^{3}+\sqrt{x}+\frac{1}{x^{2}}>M.
Observe que para 0<x<1 vale x^{3}\ge 0 e \sqrt{x}\ge 0. Portanto, para 0<x<1,
x^{3}+\sqrt{x}+\frac{1}{x^{2}}\ge \frac{1}{x^{2}}.
Para garantir \dfrac{1}{x^{2}}>M é suficiente escolher x tal que x^{2}<\dfrac{1}{M}, isto é x<\dfrac{1}{\sqrt{M}}.
Defina
\delta=\min\!\left(1,\frac{1}{\sqrt{M}}\right).
Então, se 0<x<\delta temos 0<x<1 e x<\dfrac{1}{\sqrt{M}}, logo
x^{3}+\sqrt{x}+\frac{1}{x^{2}}\ge \frac{1}{x^{2}}>M.
Isso prova a condição necessária para divergência para +\infty. Portanto
\lim_{x\to 0^{+}}\left(x^{3}+\sqrt{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)=+\infty.

Passo 5

Concluir sobre o limite bilateral \lim_{x\to 0}:
  • Para que o limite bilateral \lim_{x\to 0} exista (como número finito ou infinito), é preciso que ambos os limites laterais existam e coincidam.
  • Aqui a função não está definida para x<0, então \lim_{x\to 0^{-}} não existe como limite de valores reais (nem como +\infty nem como número finito).
  • Logo o limite bilateral \lim_{x\to 0}\left(x^{3}+\sqrt{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right) não existe.
  • Entretanto, o limite lateral à direita existe e é +\infty, como provado.

Resposta

O limite bilateral não existe.
\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\left(x^{3}+\sqrt{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)=+\infty

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