Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5-x^{3}}{8 x+2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede-se calcular o limite \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{5 - x^{3}}{8x + 2}.
  • Informações dadas:
    • Numerador: 5 - x^{3}.
    • Denominador: 8x + 2.
  • Objetivo claro: descobrir qual é o comportamento (um número finito, +\infty, -\infty ou não existe) dessa fração quando x cresce sem limite.

Passo 2

Ideia do método (sem detalhes técnicos ainda): para limites quando x\to\infty de quocientes de polinômios, os termos de maior grau dominam o comportamento. Aqui o numerador tem grau 3 (termo dominante -x^3) e o denominador tem grau 1 (termo dominante 8x). Vou tornar isso explícito dividindo por a maior potência de x presente no numerador (que é x^{3}).

Passo 3

Fatorar as maiores potências de x no numerador e no denominador para ver claramente o comportamento quando x\to\infty.
\frac{5 - x^{3}}{8x + 2} = \frac{x^{3}\left(\dfrac{5}{x^{3}} - 1\right)}{x\left(8 + \dfrac{2}{x}\right)} = x^{2}\cdot \frac{\dfrac{5}{x^{3}} - 1}{8 + \dfrac{2}{x}}.
(Reescrevi \dfrac{5 - x^{3}}{8x + 2} como x^{2} vezes uma fração cujos termos vão a constantes quando x\to\infty.)

Passo 4

Analisar os limites das partes pequenas que aparecem na fração:
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty} \dfrac{5}{x^{3}} = 0 porque x^{3} cresce e divide 5 fazendo o quociente tender a zero.
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty} \dfrac{2}{x} = 0 pela mesma razão.
Portanto a fração interna tende a
\lim_{x\to\infty} \frac{\dfrac{5}{x^{3}} - 1}{8 + \dfrac{2}{x}} = \frac{0 - 1}{8 + 0} = -\frac{1}{8}.

Passo 5

Combinar o que temos:
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty} x^{2} = +\infty.
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{\dfrac{5}{x^{3}} - 1}{8 + \dfrac{2}{x}} = -\dfrac{1}{8} (constante finita e negativa).
Quando um fator tende a +\infty e o outro tende a uma constante finita não nula, o produto tende a +\infty multiplicado por essa constante; aqui isso dá +\infty \times \left(-\dfrac{1}{8}\right) = -\infty. Intuitivamente, para grandes x a expressão comporta-se como -\dfrac{1}{8}x^{2}, que diverge para -\infty.

Passo 6

Conclusão: o limite existe no sentido estendido e é -\infty.

Resposta

-\infty

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