Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede-se calcular o limite
. - Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
.
- Numerador:
- Objetivo claro: descobrir qual é o comportamento (um número finito,
, ou não existe) dessa fração quando cresce sem limite.
Passo 2
Ideia do método (sem detalhes técnicos ainda): para limites quando
de quocientes de polinômios, os termos de maior grau dominam o comportamento. Aqui o numerador tem grau
(termo dominante
) e o denominador tem grau
(termo dominante
). Vou tornar isso explícito dividindo por a maior potência de
presente no numerador (que é
).
Passo 3
Fatorar as maiores potências de
no numerador e no denominador para ver claramente o comportamento quando
.
(Reescrevi
como
vezes uma fração cujos termos vão a constantes quando
.)
Passo 4
Analisar os limites das partes pequenas que aparecem na fração:
-
porque cresce e divide fazendo o quociente tender a zero. -
pela mesma razão.
Portanto a fração interna tende a
Passo 5
Combinar o que temos:
-
. -
(constante finita e negativa).
Quando um fator tende a
e o outro tende a uma constante finita não nula, o produto tende a
multiplicado por essa constante; aqui isso dá
. Intuitivamente, para grandes
a expressão comporta-se como
, que diverge para
.
Passo 6
Conclusão: o limite existe no sentido estendido e é
.