Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^{3}-3 x+5}{4 x^{5}-2}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a -\infty da função racional
\frac{2 x^{3}-3 x+5}{4 x^{5}-2}.
Informações dadas:
  • Numerador: 2 x^{3}-3 x+5.
  • Denominador: 4 x^{5}-2.
  • O que se pede: \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{2 x^{3}-3 x+5}{4 x^{5}-2}.

Passo 2

Idéia geral (intuição): quando x tende a \pm\infty a contribuição dos termos de menor grau fica desprezível em comparação aos termos de maior grau. Aqui o grau do numerador é 3 e o do denominador é 5. Como o grau do denominador é maior, espera-se que o quociente tenda a 0. Vamos mostrar isso de forma rigorosa.

Passo 3

Método algébrico padrão: dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador, que é x^{5}. Fazendo isso obtemos
\frac{2 x^{3}-3 x+5}{4 x^{5}-2} = \frac{\dfrac{2 x^{3}}{x^{5}}-\dfrac{3 x}{x^{5}}+\dfrac{5}{x^{5}}}{\dfrac{4 x^{5}}{x^{5}}-\dfrac{2}{x^{5}}} = \frac{\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{3}{x^{4}}+\dfrac{5}{x^{5}}}{4-\dfrac{2}{x^{5}}}.

Passo 4

Analisar os termos com potências negativas de x. Para qualquer inteiro k>0 vale
\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{k}}=0.
Explicando por que: \left|\dfrac{1}{x^{k}}\right|=\dfrac{1}{|x|^{k}} e |x|\to\infty quando x\to-\infty, então \dfrac{1}{|x|^{k}}\to0. O sinal pode depender se k é ímpar ou par, mas o valor absoluto tende a 0.

Passo 5

Aplicando isso aos termos da expressão obtida em \

Passo 6

\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{2}{x^{2}}\right)=0,\qquad \lim_{x\to -\infty}\left(\frac{3}{x^{4}}\right)=0,\qquad \lim_{x\to -\infty}\left(\frac{5}{x^{5}}\right)=0,\qquad \lim_{x\to -\infty}\left(\frac{2}{x^{5}}\right)=0.
Portanto o numerador da fração tende a 0-0+0=0 e o denominador tende a 4-0=4.

Passo 7

Como o numerador tende a 0 e o denominador tende a 4\neq0, o limite da razão é
\frac{0}{4}=0.
Observação sobre sinal: para x muito negativo os termos \dfrac{2}{x^{2}} e \dfrac{3}{x^{4}} são positivos e dominam os termos muito pequenos de ordem \dfrac{1}{x^{5}}, então a função é positiva para x grande em magnitude e negativa; isso implica que o limite é 0 vindo pelo lado positivo, mas o valor do limite é simplesmente 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados