Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
,
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas que usaremos: a expressão é a diferença entre uma raiz quadrada que contém um termo em
e a função linear
. O limite é quando
tende para
.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando temos uma diferença do tipo
que envolve termos grandes quando
, uma técnica elementar é multiplicar a expressão pela sua conjugada para eliminar as raízes no numerador; isto transforma a diferença de raízes numa razão em que o numerador fica mais simples (normalmente uma diferença de polinômios) e o denominador contém a soma das raízes. Multiplicar pela conjugada é usar a identidade
Isso facilita analisar o comportamento para
. Vou aplicar exatamente isso.
Passo 3
Aplicando a conjugada à expressão
: seja
e
. Multiplicando e dividindo por
obtemos
No numerador simplificamos:
Portanto a expressão vira
Passo 4
Agora fatoramos um
(ou
) para expor o comportamento dominante quando
. Escrevendo
e extraindo
das raízes do denominador:
Assim
Cancelando um fator
,
Passo 5
Agora fazemos o limite quando
. Observe os fatores:
Portanto o quociente que multiplica
tende para a constante
, estritamente positiva. Assim, para
,
isto é, cresce linearmente com
. Logo a expressão cresce sem limite e o limite é
.
Passo 6
Interpretação final e dica prática para a prova: a diferença das duas funções domina-se pelo termo de maior ordem em
. Aqui a raiz dá aproximadamente
quando
é grande, e
, então a diferença tende a crescer como
(ou, mais rigorosamente, como
após racionalizar). Em provas, racionalizar é a forma segura e algébrica; usar expansão com série de Taylor também funciona se souber fazê-la.