Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{3 x^{2}+2 x+1}-\sqrt{2} x\right),

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{3x^{2}+2x+1}-\sqrt{2}\,x\right).
Informações dadas que usaremos: a expressão é a diferença entre uma raiz quadrada que contém um termo em x^{2} e a função linear \sqrt{2}\,x. O limite é quando x tende para +\infty.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando temos uma diferença do tipo \sqrt{A(x)}-\sqrt{B(x)} que envolve termos grandes quando x\to\infty, uma técnica elementar é multiplicar a expressão pela sua conjugada para eliminar as raízes no numerador; isto transforma a diferença de raízes numa razão em que o numerador fica mais simples (normalmente uma diferença de polinômios) e o denominador contém a soma das raízes. Multiplicar pela conjugada é usar a identidade
\left(\sqrt{U}-\sqrt{V}\right)\cdot\frac{\sqrt{U}+\sqrt{V}}{\sqrt{U}+\sqrt{V}}=\frac{U-V}{\sqrt{U}+\sqrt{V}}.
Isso facilita analisar o comportamento para x\to\infty. Vou aplicar exatamente isso.

Passo 3

Aplicando a conjugada à expressão \sqrt{3x^{2}+2x+1}-\sqrt{2}\,x: seja U=3x^{2}+2x+1 e V=(\sqrt{2}\,x)^{2}=2x^{2}. Multiplicando e dividindo por \sqrt{3x^{2}+2x+1}+\sqrt{2}\,x obtemos
\sqrt{3x^{2}+2x+1}-\sqrt{2}\,x =\frac{\bigl(3x^{2}+2x+1\bigr)-2x^{2}}{\sqrt{3x^{2}+2x+1}+\sqrt{2}\,x}.
No numerador simplificamos:
\bigl(3x^{2}+2x+1\bigr)-2x^{2}=x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
Portanto a expressão vira
\sqrt{3x^{2}+2x+1}-\sqrt{2}\,x =\frac{(x+1)^{2}}{\sqrt{3x^{2}+2x+1}+\sqrt{2}\,x}.

Passo 4

Agora fatoramos um x (ou x^{2}) para expor o comportamento dominante quando x\to\infty. Escrevendo (x+1)^{2}=x^{2}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{2} e extraindo x das raízes do denominador:
\sqrt{3x^{2}+2x+1}=x\sqrt{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}.
Assim
\frac{(x+1)^{2}}{\sqrt{3x^{2}+2x+1}+\sqrt{2}\,x} =\frac{x^{2}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{2}}{x\left(\sqrt{3+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{2}\right)}.
Cancelando um fator x\neq0,
\sqrt{3x^{2}+2x+1}-\sqrt{2}\,x = x\cdot\frac{\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{2}}{\sqrt{3+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{2}}.

Passo 5

Agora fazemos o limite quando x\to\infty. Observe os fatores:
\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{2}\longrightarrow 1, \qquad \sqrt{3+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}\longrightarrow \sqrt{3}.
Portanto o quociente que multiplica x tende para a constante \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}, estritamente positiva. Assim, para x\to\infty,
\sqrt{3x^{2}+2x+1}-\sqrt{2}\,x \sim x\cdot\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}},
isto é, cresce linearmente com x. Logo a expressão cresce sem limite e o limite é +\infty.

Passo 6

Interpretação final e dica prática para a prova: a diferença das duas funções domina-se pelo termo de maior ordem em x. Aqui a raiz dá aproximadamente \sqrt{3}\,x quando x é grande, e \sqrt{3}>\sqrt{2}, então a diferença tende a crescer como (\sqrt{3}-\sqrt{2})x (ou, mais rigorosamente, como x/(\sqrt{3}+\sqrt{2}) após racionalizar). Em provas, racionalizar é a forma segura e algébrica; usar expansão com série de Taylor também funciona se souber fazê-la.

Resposta

+\infty

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