Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes fornecidas:
- As funções no numerador e denominador são
e . - Quando
temos e , ou seja, a expressão tem a forma indeterminada . - É necessário manipular a expressão para usar limites fundamentais.
Passo 2
Lembra do limite fundamental que vamos usar (explicando devagar):
.
O que isso diz na prática: para ângulos muito pequenos, se comporta quase igual a
. Por exemplo, se
é pequeno,
. Esse é o ingrediente principal que vai resolver a nossa indeterminação.
O que isso diz na prática: para ângulos muito pequenos,
Passo 3
Vamos reescrever a expressão de forma a envolver termos do tipo
. Faça a identidade algébrica
Observando, isso é válido porque multiplicamos e dividimos por
e por
de forma a não alterar a expressão.
Passo 4
Simplificando o fator do meio, obtemos
Agora vamos ver o limite de cada fator separadamente quando
.
Passo 5
Aplicando o limite fundamental com mudança de variável:
- Para o primeiro fator, seja
. Quando temos , então
- Para o terceiro fator, seja
. Quando temos , então
Passo 6
Como o limite do produto é o produto dos limites (cada limite existe e é finito), temos