Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} 7 x}{\operatorname{sen} 9 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}7x}{\operatorname{sen}9x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • As funções no numerador e denominador são \operatorname{sen}7x e \operatorname{sen}9x.
  • Quando x\to 0 temos \operatorname{sen}7x\to 0 e \operatorname{sen}9x\to 0, ou seja, a expressão tem a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.
  • É necessário manipular a expressão para usar limites fundamentais.

Passo 2

Lembra do limite fundamental que vamos usar (explicando devagar): \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
O que isso diz na prática: para ângulos muito pequenos, \sin t se comporta quase igual a t. Por exemplo, se t é pequeno, \sin t\approx t. Esse é o ingrediente principal que vai resolver a nossa indeterminação.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão de forma a envolver termos do tipo \dfrac{\sin(\cdot)}{\cdot}. Faça a identidade algébrica
\frac{\operatorname{sen}7x}{\operatorname{sen}9x} = \frac{\operatorname{sen}7x}{7x}\cdot\frac{7x}{9x}\cdot\frac{9x}{\operatorname{sen}9x}.
Observando, isso é válido porque multiplicamos e dividimos por 7x e por 9x de forma a não alterar a expressão.

Passo 4

Simplificando o fator do meio, obtemos
\frac{\operatorname{sen}7x}{\operatorname{sen}9x} = \left(\frac{\operatorname{sen}7x}{7x}\right)\cdot\frac{7}{9}\cdot\left(\frac{9x}{\operatorname{sen}9x}\right).
Agora vamos ver o limite de cada fator separadamente quando x\to 0.

Passo 5

Aplicando o limite fundamental com mudança de variável:
  • Para o primeiro fator, seja t=7x. Quando x\to 0 temos t\to 0, então
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}7x}{7x} = \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
  • Para o terceiro fator, seja u=9x. Quando x\to 0 temos u\to 0, então
\lim_{x\to 0}\frac{9x}{\operatorname{sen}9x} = \lim_{u\to 0}\frac{u}{\sin u}=1.

Passo 6

Como o limite do produto é o produto dos limites (cada limite existe e é finito), temos
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}7x}{\operatorname{sen}9x} = \left(1\right)\cdot\frac{7}{9}\cdot\left(1\right)=\frac{7}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{9}

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