Calcule o limite de f(x)=x^{2} quando x tende a 3 .

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2} e pede o limite de f(x) quando x tende a 3. Em outras palavras, precisamos calcular
\lim_{x\to3} x^{2}.
Informações relevantes: a função está definida em todos os reais e o ponto onde aproximamos é x=3. O que se pede é o valor que os valores de f(x) ficam próximos quando x se aproxima de 3.

Passo 2

Explicando o que significa “calcular o limite” de forma rigorosa e intuitiva. Intuitivamente, queremos saber para que número L os valores f(x) se aproximam quando x fica cada vez mais perto de 3. Rigorosamente, usamos a definição epsilon-delta:
\text{Dizemos que }\lim_{x\to3} f(x)=L\text{ se, para todo }\varepsilon>0,\text{ existe }\delta>0\text{ tal que, sempre que }0<|x-3|<\delta,\text{ temos }|f(x)-L|<\varepsilon.
Aqui \varepsilon (leia “épsilon”) é o quanto permitimos de erro no valor de f(x) em relação a L, e \delta (leia “delta”) é o quanto obrigamos x a estar próximo de 3 para garantir esse erro pequeno. A ideia é: dado qualquer quanto de precisão \varepsilon eu queira em f(x), consigo escolher um \delta que obriga x a ficar tão perto de 3 que f(x) fique dentro daquela precisão.

Passo 3

Vamos aplicar a definição ao caso f(x)=x^{2}. Suspeitamos que o limite é L=9 porque 3^{2}=9. Para provar isso, começamos calculando a diferença entre f(x) e 9:
|f(x)-9|=|x^{2}-9|.
Fatorando a diferença de quadrados:
|x^{2}-9|=|x-3||x+3|.
Essa expressão mostra que o desvio em f(x) é o produto de |x-3| (que podemos controlar fazendo x perto de 3) por |x+3| (que varia com x). Para usar a definição epsilon-delta, precisamos relacionar |x^{2}-9| com |x-3| de forma que possamos controlar o produto.

Passo 4

Para controlar |x+3| vamos impor uma restrição inicial sobre \delta. Escolhemos que \delta\le 1. Isso significa que consideramos apenas x com |x-3|<1. Se |x-3|<1 então
|x+3| = |(x-3)+6| \le |x-3| + 6 < 1 + 6 = 7.
Portanto, sob a condição |x-3|<1 obtemos o limite superior
|x+3|<7.
Substituindo na fatoração do Passo 3 dá
|x^{2}-9| = |x-3||x+3| < 7|x-3|.
Essa desigualdade é útil: ela relaciona |x^{2}-9| diretamente com |x-3| com um fator fixo 7.

Passo 5

Agora aplicamos a lógica da definição epsilon-delta. Dado um \varepsilon>0 qualquer, queremos garantir que |x^{2}-9|<\varepsilon sempre que 0<|x-3|<\delta. Usando a desigualdade do Passo 4, basta garantir
7|x-3|<\varepsilon,
ou seja
|x-3|<\frac{\varepsilon}{7}.
Lembrando que também precisamos da condição auxiliar |x-3|<1 para que a estimativa |x+3|<7 valha. Portanto uma escolha que resolve os dois requisitos é
\delta = \min\!\left(1,\\ \frac{\varepsilon}{7}\right).
Com essa escolha, sempre que 0<|x-3|<\delta temos |x-3|<1 (logo |x+3|<7) e |x-3|<\varepsilon/7. Assim
|x^{2}-9| < 7|x-3| < 7\cdot\frac{\varepsilon}{7} = \varepsilon.
Isso verifica a condição da definição de limite para L=9.

Passo 6

Concluímos, pelo argumento epsilon-delta elaborado, que
\lim_{x\to3} x^{2} = 9.
Comentário prático (mais curto para a prova): como x^{2} é um polinômio e polinômios são funções contínuas em todos os reais, o limite pode ser calculado simplesmente substituindo x=3: 3^{2}=9. Mas o passo-a-passo acima mostra a prova rigorosa usando a definição de limite. Boa! Você já viu tanto a intuição quanto a prova formal.

Resposta

\lim_{x\to3} x^{2}=9

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