Calcule o limite de
quando
tende a 3 .
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o limite de
quando
tende a
. Em outras palavras, precisamos calcular
Informações relevantes: a função está definida em todos os reais e o ponto onde aproximamos é
. O que se pede é o valor que os valores de
ficam próximos quando
se aproxima de
.
Passo 2
Explicando o que significa “calcular o limite” de forma rigorosa e intuitiva. Intuitivamente, queremos saber para que número
os valores
se aproximam quando
fica cada vez mais perto de
. Rigorosamente, usamos a definição epsilon-delta:
Aqui
(leia “épsilon”) é o quanto permitimos de erro no valor de
em relação a
, e
(leia “delta”) é o quanto obrigamos
a estar próximo de
para garantir esse erro pequeno. A ideia é: dado qualquer quanto de precisão
eu queira em
, consigo escolher um
que obriga
a ficar tão perto de
que
fique dentro daquela precisão.
Passo 3
Vamos aplicar a definição ao caso
. Suspeitamos que o limite é
porque
. Para provar isso, começamos calculando a diferença entre
e
:
Fatorando a diferença de quadrados:
Essa expressão mostra que o desvio em
é o produto de
(que podemos controlar fazendo
perto de
) por
(que varia com
). Para usar a definição epsilon-delta, precisamos relacionar
com
de forma que possamos controlar o produto.
Passo 4
Para controlar
vamos impor uma restrição inicial sobre
. Escolhemos que
. Isso significa que consideramos apenas
com
. Se
então
Portanto, sob a condição
obtemos o limite superior
Substituindo na fatoração do Passo 3 dá
Essa desigualdade é útil: ela relaciona
diretamente com
com um fator fixo
.
Passo 5
Agora aplicamos a lógica da definição epsilon-delta. Dado um
qualquer, queremos garantir que
sempre que
. Usando a desigualdade do Passo 4, basta garantir
ou seja
Lembrando que também precisamos da condição auxiliar
para que a estimativa
valha. Portanto uma escolha que resolve os dois requisitos é
Com essa escolha, sempre que
temos
(logo
) e
. Assim
Isso verifica a condição da definição de limite para
.
Passo 6
Concluímos, pelo argumento epsilon-delta elaborado, que
Comentário prático (mais curto para a prova): como
é um polinômio e polinômios são funções contínuas em todos os reais, o limite pode ser calculado simplesmente substituindo
:
. Mas o passo-a-passo acima mostra a prova rigorosa usando a definição de limite. Boa! Você já viu tanto a intuição quanto a prova formal.