Calcule o limite de f(x)=5 x+3 quando x tende a 2 .

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite de f(x)=5x+3 quando x tende a 2.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=5x+3.
  • O ponto de interesse é x\to 2.
    Pergunta explícita: determinar \lim_{x\to 2} f(x).

Passo 2

O que significa \lim_{x\to 2} f(x)? Intuitivamente é o valor que os valores de f(x) se aproximam quando x se aproxima de 2. Em muitos casos (como neste) a função não tem comportamento estranho perto de 2, então basta avaliar a função em 2. Vou explicar por que isso é permitido.

Passo 3

Observação importante: funções polinomiais e afins (retas, ou seja, funções da forma ax+b) são contínuas em todo ponto. "Contínua em x=2" significa que o limite quando x\to 2 existe e é igual ao valor da função em 2. A função dada é uma reta, portanto é contínua em 2. Logo é seguro calcular o limite por substituição direta: basta calcular f(2).

Passo 4

Calcular f(2) por substituição direta:
f(2)=5\cdot 2 + 3.
Agora faço a multiplicação e soma passo a passo:
5\cdot 2 = 10,
10 + 3 = 13.
Portanto, pela continuidade, \lim_{x\to 2} f(x)=13.

Passo 5

Para ficar completinho e formalzinho (só para treinar como se escreve uma prova): mostro um pequeno argumento \varepsilon- \delta que prova o limite. Seja qualquer \varepsilon>0. Quero encontrar \delta>0 tal que, se 0<|x-2|<\delta, então |f(x)-13|<\varepsilon. Calculo:
|f(x)-13| = |5x+3-13| = |5x-10| = 5|x-2|.
Se eu escolher \delta=\dfrac{\varepsilon}{5}, então 0<|x-2|<\delta implica
|f(x)-13| = 5|x-2| < 5\delta = 5\cdot \frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon.
Isso demonstra formalmente que \lim_{x\to 2} f(x)=13.

Passo 6

Teste numérico rápido (para intuição): calcule f(1{,}9)=5\cdot 1{,}9+3=9{,}5+3=12{,}5, e f(1{,}99)=5\cdot 1{,}99+3=9{,}95+3=12{,}95. À medida que x se aproxima de 2 por valores menores, f(x) aproxima-se de 13. Para x por valores maiores: f(2{,}1)=5\cdot 2{,}1+3=10{,}5+3=13{,}5. Esses exemplos confirmam a ideia de que f(x)\to 13.

Resposta

\;13

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