Considere as funções f(x)=-x^{2}, g(x)=x^{2} \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) e h(x)=x^{2}. Observe que:
-1 \leqslant \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) \leqslant 1 \Longrightarrow-x^{2} \leqslant x^{2} \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) \leqslant x^{2} .
Como \lim _{x \rightarrow 0}\left(-x^{2}\right)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}=0, segue pelo Teorema do Confronto que \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \sin \left(\frac{\pi}{x}\right)=0

Passo 1

O que o enunciado nos pede e o que nos dá.
  • Pedido: calcular \displaystyle \lim_{x\to 0} x^{2}\sin\!\left(\frac{\pi}{x}\right).
  • Informações fornecidas:
    • As funções f(x)=-x^{2}, g(x)=x^{2}\sin\!\left(\frac{\pi}{x}\right) e h(x)=x^{2}.
    • A desigualdade conhecida sobre o seno: -1 \leqslant \sin\!\left(\frac{\pi}{x}\right) \leqslant 1.
    • A partir daí foi observado que -x^{2} \leqslant x^{2}\sin\!\left(\frac{\pi}{x}\right) \leqslant x^{2}.
    • Também é dado que \displaystyle \lim_{x\to 0}(-x^{2})=\displaystyle \lim_{x\to 0}x^{2}=0.

Passo 2

Enunciado do Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) e interpretação intuitiva.
  • Teorema do Confronto (forma usada aqui): \text{Se existe um intervalo }I\text{ com }0\text{ interior e, para }x\in I\setminus\{0\}, \quad f(x)\le g(x)\le h(x),
\text{e se }\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}h(x)=L, \text{ então }\lim_{x\to 0}g(x)=L.ã
  • Interpretação simples: se uma função g fica sempre “espremida” entre duas funções f e h que têm o mesmo limite L quando x\to 0, então g também deve tender para L. Visualize f e h como paredes convergindo para o mesmo ponto; o que está entre elas tem que ir para esse ponto também.

Passo 3

Verificar que as hipóteses do teorema são satisfeitas no nosso caso.
  • A desigualdade básica do seno é -1 \leqslant \sin\!\left(\frac{\pi}{x}\right) \leqslant 1 para todo x\neq 0.
  • Multiplicando essa desigualdade por x^{2}, que é sempre não negativo, a ordem é preservada. Portanto, para todo x\neq 0: -x^{2} \leqslant x^{2}\sin\!\left(\frac{\pi}{x}\right) \leqslant x^{2}.Observação: é importante notar que a desigualdade vale para todo x\neq 0 (em x=0 a expressão \sin(\pi/x) não está definida), e isso é suficiente para aplicar o teorema do confronto ao limite \displaystyle x\to 0.

Passo 4

Calcular os limites das funções-bandeira f(x)=-x^{2} e h(x)=x^{2}.
  • Para \displaystyle \lim_{x\to 0} x^{2} usamos que x^{2} é uma potência contínua e x^{2}\ge 0. Assim \lim_{x\to 0} x^{2} = 0.
  • Para \displaystyle \lim_{x\to 0} -x^{2} é imediato pelo fator -1: \lim_{x\to 0} -x^{2} = -\lim_{x\to 0} x^{2} = -0 = 0.
  • Conclusão: as duas funções que “espremem” g têm o mesmo limite L=0.

Passo 5

Aplicação do Teorema do Confronto e conclusão do limite.
  • Como para x\neq 0 vale -x^{2} \leqslant x^{2}\sin\!\left(\frac{\pi}{x}\right) \leqslant x^{2},e como \displaystyle \lim_{x\to 0}(-x^{2})=\displaystyle \lim_{x\to 0}x^{2}=0, pelo Teorema do Confronto segue que \lim_{x\to 0} x^{2}\sin\!\left(\frac{\pi}{x}\right)=0.

Passo 6

Prova \varepsilon- \delta direta e comentário didático rápido (para usar na prova).
  • Uma demonstração \varepsilon- \delta simples usa a desigualdade em valor absoluto: \left|x^{2}\sin\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\right| \leqslant x^{2},porque \left|\sin\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\right|\le 1.
  • Dados \varepsilon>0, escolha \delta=\sqrt{\varepsilon}. Se |x|<\delta então \left|x^{2}\sin\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\right| \le x^{2}<\delta^{2}=\varepsilon.Isso mostra diretamente, pelo critério \varepsilon- \delta, que \displaystyle \lim_{x\to 0} x^{2}\sin\!\left(\frac{\pi}{x}\right)=0.
  • Comentário intuitivo: mesmo que \sin(\pi/x) oscile muito perto de 0, o fator x^{2} “vence” essa oscilação, esmagando o produto para 0. Dica para a prova: quando tiver um produto com uma parte oscilante limitada (como seno ou cosseno) e um fator que tende a 0, tente usar a desigualdade |\sin|\le 1 e um argumento de squeeze/valor absoluto.

Resposta

0

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