Considere as funções
e
. Observe que:
Como
, segue pelo Teorema do Confronto que
Passo 1
O que o enunciado nos pede e o que nos dá.
- Pedido: calcular
. - Informações fornecidas:
- As funções
, e . - A desigualdade conhecida sobre o seno:
. - A partir daí foi observado que
- Também é dado que
.
- As funções
Passo 2
Enunciado do Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) e interpretação intuitiva.
- Teorema do Confronto (forma usada aqui):
- Interpretação simples: se uma função
fica sempre “espremida” entre duas funções e que têm o mesmo limite quando , então também deve tender para . Visualize e como paredes convergindo para o mesmo ponto; o que está entre elas tem que ir para esse ponto também.
Passo 3
Verificar que as hipóteses do teorema são satisfeitas no nosso caso.
- A desigualdade básica do seno é
para todo . - Multiplicando essa desigualdade por
, que é sempre não negativo, a ordem é preservada. Portanto, para todo : Observação: é importante notar que a desigualdade vale para todo (em a expressão não está definida), e isso é suficiente para aplicar o teorema do confronto ao limite .
Passo 4
Calcular os limites das funções-bandeira
e
.
- Para
usamos que é uma potência contínua e . Assim - Para
é imediato pelo fator : - Conclusão: as duas funções que “espremem”
têm o mesmo limite .
Passo 5
Aplicação do Teorema do Confronto e conclusão do limite.
- Como para
vale e como , pelo Teorema do Confronto segue que
Passo 6
Prova
-
direta e comentário didático rápido (para usar na prova).
- Uma demonstração
- simples usa a desigualdade em valor absoluto: porque . - Dados
, escolha . Se então Isso mostra diretamente, pelo critério - , que . - Comentário intuitivo: mesmo que
oscile muito perto de , o fator “vence” essa oscilação, esmagando o produto para . Dica para a prova: quando tiver um produto com uma parte oscilante limitada (como seno ou cosseno) e um fator que tende a , tente usar a desigualdade e um argumento de squeeze/valor absoluto.