Calcule o limite da funçāo, no ponto indicado ou mostre que ele não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)}\left(\frac{3+y x}{x-y+2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis \displaystyle f(x,y)=\frac{3+yx}{x-y+2}
quando (x,y) tende a (1,2). O conteúdo aqui é continuidade de funções racionais de duas variáveis; como o denominador não se anula no ponto, podemos usar substituição direta.

Passo 2

Calculamos o valor do denominador em (1,2):
x - y + 2 \biggr|_{(1,2)} = 1 - 2 + 2 = 1,
que é diferente de zero, garantindo continuidade de f nesse ponto.

Passo 3

Calculamos o valor do numerador em (1,2):
3 + yx \biggr|_{(1,2)} = 3 + (2)(1) = 5.

Passo 4

Como f é contínua em (1,2), o limite equivale ao valor de f nesse ponto:
\lim_{(x,y)\to(1,2)}\frac{3+yx}{x-y+2} = \frac{5}{1} = 5.

Resposta

5

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