Calcule o limite da funçāo, no ponto indicado ou mostre que ele não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,-3)}\left(\frac{x^{4} y^{2}-9}{x^{3} y+3 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(1,-3)}\frac{x^{4}y^{2}-9}{x^{3}y+3x}.
O conteúdo envolvido é limites de funções de duas variáveis em ponto de indeterminação do tipo 0/0. Vamos precisar:
  1. Verificar que plugging-in dá 0/0.
  2. Fatorar numerador e denominador para simplificar.
  3. Usar a continuidade da parte simplificada para avaliar o limite.

Passo 2

Avalia-se numerador e denominador em (x,y)=(1,-3):
x^{4}y^{2}-9\Big|_{(1,-3)} = 1^{4}\cdot(-3)^{2}-9 =9-9=0,
x^{3}y+3x\Big|_{(1,-3)} =1^{3}\cdot(-3)+3\cdot1 =-3+3=0.
Logo temos indeterminação 0/0.

Passo 3

Fatoramos usando diferença de quadrados e fator comum:
x^{4}y^{2}-9 = (x^{2}y)^{2}-3^{2} = (x^{2}y-3)\,(x^{2}y+3),
x^{3}y+3x = x\,(x^{2}y+3).

Passo 4

Cancelamos o fator comum (x^{2}y+3), obtendo para (x,y) próximo de (1,-3), mas com x^{2}y+3\neq0:
\frac{x^{4}y^{2}-9}{x^{3}y+3x} = \frac{(x^{2}y-3)\,(x^{2}y+3)}{x\,(x^{2}y+3)} = \frac{x^{2}y-3}{x}.
O caminho em que x^{2}y+3=0 corresponde ao denominador original nulo, logo não faz parte do domínio; para o limite isso não impede a simplificação.

Passo 5

Agora a função simplificada \dfrac{x^{2}y-3}{x} é contínua em pontos com x\neq0. Aplicando continuidade em (1,-3):
\lim_{(x,y)\to(1,-3)}\frac{x^{2}y-3}{x} = \frac{1^{2}\cdot(-3)-3}{1} = \frac{-3-3}{1} = -6.

Resposta

-6

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