Esboçar o gráfico das funçōes:
f(x, y)=3+\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a superfície dada por
f(x,y) = 3 + \sqrt{9 - x^2 - y^2}.
O conteúdo é geometria de superfícies em \mathbb{R}^3, e vamos precisar identificar domínio, reinterpretar a fórmula como parte de uma esfera e depois descrever o formato do gráfico.

Passo 2

Precisamos primeiro achar o domínio de f. Como há a raiz quadrada de 9 - x^2 - y^2, precisamos de
9 - x^2 - y^2 \ge 0
ou seja
x^2 + y^2 \le 9.
Logo, a projeção da superfície no plano xy é o disco de raio 3 centrado na origem.

Passo 3

Para ver a forma em \mathbb{R}^3, chame z = f(x,y). Então
z = 3 + \sqrt{9 - x^2 - y^2} \quad\Longrightarrow\quad z - 3 = \sqrt{9 - x^2 - y^2}.
Elevando ao quadrado,
(z - 3)^2 = 9 - x^2 - y^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 + (z - 3)^2 = 9.
Isto é a esfera de raio 3 centrada em (0,0,3). Como extraímos a raiz positiva, ficamos com a metade superior dessa esfera, onde
z - 3 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad z \ge 3.

Passo 4

Para entender melhor o esboço, veja as curvas de nível horizontais. Se fixarmos z = z_0 com 3 \le z_0 \le 6, temos
\sqrt{9 - x^2 - y^2} = z_0 - 3 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 = 9 - (z_0 - 3)^2,
que são círculos de raio \sqrt{9 - (z_0 - 3)^2}. No plano xy, esses círculos encolhem de raio 3 (em z=3) até raio 0 (em z=6).

Passo 5

Portanto, o gráfico de f é exatamente a semiesfera superior de raio 3 com centro em (0,0,3), apoiada sobre o plano z=3 e atingindo o ponto máximo (0,0,6). No esboço, desenhe o disco x^2+y^2\le3^2 no plano z=3 e depois trace a “cúpula” esférica que sobe até z=6.

Resposta

O gráfico é a semiesfera superior de raio 3 centrada em (0,0,3), definida para x^2+y^2\le9 e 3\le z\le6.

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