Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas
24. lim x 2 2-xraizx+2-2

Passo 1

Queremos calcular o limite
limxto 22-xraizx+2-2
Este é um problema de limites que envolve forma indeterminada 0/0 e radical no denominador. Vamos usar propriedades de limite (soma, produto, quociente e continuidade) e a técnica de racionalização para resolvê-lo.

Passo 2

Substituindo diretamente x=2, o numerador vira 2-2=0 e o denominador fica raiz4-2=2-2=0, ou seja, temos indeterminação 0/0. Pela Propriedade do Quociente de Limites, não podemos simplesmente calcular o limite nessa forma.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por raizx+2+2, que é equivalente a multiplicar por 1 (Pela Propriedade do Produto de Limites):
2-xraizx+2-2cdotraizx+2+2raizx+2+2 =(2-x)(raizx+2+2)(raizx+2)^2-2^2

Passo 4

No denominador temos
(raizx+2)^2-2^2 = x+2-4 = x-2
E no numerador podemos escrever 2-x=-(x-2), assim:
(2-x)(raizx+2+2)x-2 = -(x-2)(raizx+2+2)x-2
Pela Propriedade do Quociente de Limites (e simplificação algébrica), para xneq2 cancelamos x-2 e obtemos a função equivalente
f(x)=-(raizx+2+2)

Passo 5

Agora usamos a Propriedade da Continuidade (a soma e a raiz quadrada são contínuas onde estão definidas). Logo podemos calcular o limite trocando-o pelo valor da função em x=2:
limxto2f(x)= -l(raiz2+2+2r) = -(2+2)= -4

Resposta

-4

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