Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
\lim _{x \rightarrow 2} \sqrt{\frac{2 x^{2}+1}{3 x-2}}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{x\to2}\sqrt{\frac{2x^2+1}{3x-2}}. O conteúdo é cálculo de limite de função composta envolvendo quociente e raiz quadrada; vamos usar propriedades de limite de soma, produto, quociente e continuidade de funções elementares.

Passo 2

Antes de aplicar limites, verificamos o domínio da expressão interior \frac{2x^2+1}{3x-2}. Em x=2 o denominador 3x-2 vale 3\cdot2-2=4\neq0, e o numerador vale 2\cdot2^2+1=9>0. Logo, perto de x=2 a fração é bem definida e positiva, permitindo usar a raiz quadrada.

Passo 3

Como a função t\mapsto\sqrt{t} é contínua para t>0, vale a propriedade de limite de função composta:
\lim_{x\to2}\sqrt{\frac{2x^2+1}{3x-2}} =\sqrt{\lim_{x\to2}\frac{2x^2+1}{3x-2}}.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \lim_{x\to2}\frac{2x^2+1}{3x-2}, usamos a propriedade de limite de quociente: se \lim_{x\to2}(3x-2)\neq0, então
\lim_{x\to2}\frac{2x^2+1}{3x-2} =\frac{\lim_{x\to2}(2x^2+1)}{\lim_{x\to2}(3x-2)}.

Passo 5

Calculamos separadamente
\lim_{x\to2}(2x^2+1) =2\cdot2^2+1=9, \quad \lim_{x\to2}(3x-2) =3\cdot2-2=4.

Passo 6

Substituindo,
\lim_{x\to2}\frac{2x^2+1}{3x-2} =\frac{9}{4},
e portanto
\lim_{x\to2}\sqrt{\frac{2x^2+1}{3x-2}} =\sqrt{\frac{9}{4}} =\frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

Exercícios relacionados