& (4) CALCULE O VOLUME DA REGIÃO R \subset \mathbb{R}^{3} , \
& DELIMITADO PELO PARABOLOIDE P: z=x{2}+y{2} E^{-15} \
& PELO PLANO TT: z=4 y \

Passo 1

O enunciado pede o volume da região R\subset\mathbb{R}^3 delimitada pelo paraboloide
P:\;z = x^2 + y^2
e pelo plano
T:\;z = 4y.
O método é usar integrais duplas: projetar R no plano xy, achar a curva de interseção para determinar a região D, e depois calcular
V = \iint_{D}\bigl(z_{\text{topo}} - z_{\text{fundo}}\bigr)\,dA.

Passo 2

A curva de interseção vem de igualar as duas superfícies:
x^2 + y^2 = 4y \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 - 4y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + (y-2)^2 = 4.
Isso é um círculo de raio 2 e centro (0,2). A região projetada D no plano xy é o disco interno a esse círculo, onde
x^2 + y^2 \le 4y.

Passo 3

O volume é
V = \iint_{D} \bigl(4y - (x^2+y^2)\bigr)\,dA.

Passo 4

Em coordenadas polares usamos x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, dA = r\,dr\,d\theta. A condição x^2+y^2 \le 4y vira
r^2 \le 4r\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad 0 \le r \le 4\sin\theta, \quad 0 \le \theta \le \pi
pois \sin\theta deve ser não negativa.

Passo 5

Substituindo no integrando:
4y - (x^2+y^2) = 4(r\sin\theta) - r^2,
então
V = \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{4\sin\theta} \bigl(4r\sin\theta - r^2\bigr)\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{4\sin\theta} \bigl(4r^2\sin\theta - r^3\bigr)\,dr\,d\theta.
Calculemos a integral em r:
\int_{0}^{4\sin\theta}\bigl(4r^2\sin\theta - r^3\bigr)\,dr = 4\sin\theta\cdot\frac{r^3}{3}\Big|_{0}^{4\sin\theta} \;-\;\frac{r^4}{4}\Big|_{0}^{4\sin\theta} = \frac{256}{3}\sin^4\theta - 64\sin^4\theta = \frac{64}{3}\sin^4\theta.

Passo 6

Agora
V = \int_{0}^{\pi} \frac{64}{3}\,\sin^4\theta\,d\theta = \frac{64}{3}\int_{0}^{\pi}\sin^4\theta\,d\theta.
Usando a identidade de redução
\sin^4\theta = \frac{3 - 4\cos(2\theta) + \cos(4\theta)}{8}
leva a
\int_{0}^{\pi}\sin^4\theta\,d\theta = \frac{3\pi}{8}.
Logo
V = \frac{64}{3}\cdot\frac{3\pi}{8} = 8\pi.

Resposta

O volume da região R é 8\pi.

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