& (4) CALCULE O VOLUME DA REGIÃO R \subset \mathbb{R}^{3} , \
& DELIMITADO PELO PARABOLOIDE P: z=x{2}+y{2} E^{-15} \
& PELO PLANO TT: z=4 y \
& DELIMITADO PELO PARABOLOIDE P: z=x{2}+y{2} E^{-15} \
& PELO PLANO TT: z=4 y \
Passo 1
O enunciado pede o volume da região
delimitada pelo paraboloide
e pelo plano
O método é usar integrais duplas: projetar
no plano
, achar a curva de interseção para determinar a região
, e depois calcular
Passo 2
A curva de interseção vem de igualar as duas superfícies:
Isso é um círculo de raio
e centro
. A região projetada
no plano
é o disco interno a esse círculo, onde
Passo 3
O volume é
Passo 4
Em coordenadas polares usamos
,
,
. A condição
vira
pois
deve ser não negativa.
Passo 5
Substituindo no integrando:
então
Calculemos a integral em
:
Passo 6
Agora
Usando a identidade de redução
leva a
Logo
Resposta
O volume da região
é
.