Achar a=\tan (3 b), onde
b=\lim _{x \rightarrow \infty} \arcsin \left(\sqrt{x^{2}-\sqrt{2} x+1}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar
a = \tan(3b),
onde
b = \lim_{x\to\infty}\arcsin\bigl(\sqrt{x^{2}-\sqrt{2}\,x+1}-x\bigr).
O conteúdo necessário envolve cálculo de limite de uma expressão com raiz, uso de racionalização, avaliação de um arco seno e, por fim, aplicação da identidade da tangente de ângulo triplo.

Passo 2

Racionalizamos a expressão dentro do arco seno:
\sqrt{x^{2}-\sqrt{2}\,x+1}-x = \frac{\bigl(\sqrt{x^{2}-\sqrt{2}\,x+1}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}-\sqrt{2}\,x+1}+x\bigr)} {\sqrt{x^{2}-\sqrt{2}\,x+1}+x} = \frac{x^{2}-\sqrt{2}\,x+1 - x^{2}}{\sqrt{x^{2}-\sqrt{2}\,x+1}+x} = \frac{-\sqrt{2}\,x+1}{\sqrt{x^{2}-\sqrt{2}\,x+1}+x}.

Passo 3

Para achar o limite, dividimos numerador e denominador por x:
\frac{-\sqrt{2}\,x+1}{\sqrt{x^{2}-\sqrt{2}\,x+1}+x} = \frac{-\sqrt{2} + \tfrac{1}{x}}{\sqrt{1 - \tfrac{\sqrt{2}}{x} + \tfrac{1}{x^{2}}}\;+\;1}.
Ao fazer x\to\infty, temos
\lim_{x\to\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}-\sqrt{2}\,x+1}-x\bigr) = \frac{-\sqrt{2}}{1+1} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.
Logo
b = \arcsin\!\Bigl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = -\frac{\pi}{4}.

Passo 4

Agora calculamos
a = \tan\bigl(3b\bigr) = \tan\!\Bigl(3\cdot\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)\Bigr) = \tan\!\bigl(-\tfrac{3\pi}{4}\bigr) = -\tan\!\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr) = -(-1) = 1.

Resposta

1

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