Calcule o limite e justifique cada passagem indicando a propriedade apropriada dos limites.
lim x infty 3 x^2-x+42 x^2+5 x-8

Passo 1

Estamos lidando com o conteúdo de limite de funções racionais no infinito: temos o enunciado limxtoinfty3x^2 - x + 42x^2 + 5x - 8. Para resolver, vamos usar propriedades de limites (fatoração, soma, quociente e limites de termos que tendem a zero).

Passo 2

Primeiro, fatoramos x^2 no numerador e no denominador para evidenciar o comportamento no infinito:
3x^2 - x + 42x^2 + 5x - 8 = x^2l(3 - 1x + 4x^2r)x^2l(2 + 5x - 8x^2r)
Em seguida, cancelamos x^2, já que para xneq0 ele não anula a função.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de limite do quociente (desde que o limite do denominador seja não nulo) e de soma:
limxtoinfty3 - 1x + 4x^22 + 5x - 8x^2 = limxtoinftyl(3 - 1x + 4x^2r)limxtoinftyl(2 + 5x - 8x^2r)

Passo 4

Por fim, usamos que limxtoinfty1x = 0 e limxtoinfty1x^2 = 0. Assim,
limxtoinftyl(3 - tfrac1x + tfrac4x^2r) = 3 e limxtoinftyl(2 + tfrac5x - tfrac8x^2r) = 2
Portanto o limite vale 3/2.

Resposta

tfrac32

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