Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos as derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, t) = e^{-t} \cos(\pi x) $. Isso está dentro do conteúdo de cálculo de derivadas parciais, onde precisamos derivar a função em relação a cada uma das variáveis, mantendo a outra constante. Para resolver, vamos usar as regras de derivação de funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
A função $ f(x, t) = e^{-t} \cos(\pi x) $ tem $ e^{-t} $ como uma constante quando derivamos em relação a $ x $. Então, aplicamos a regra da derivada da função cosseno:
Multiplicando pela constante $ e^{-t} $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial t} $.
Aqui, $ \cos(\pi x) $ é uma constante quando derivamos em relação a $ t $. Aplicamos a regra da derivada da função exponencial:
Multiplicando pela constante $ \cos(\pi x) $:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, t) = e^{-t} \cos(\pi x) $ são:
e