Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
f(x, t)=e^-t extcos extcos ( extπ x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos as derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, t) = e^{-t} \cos(\pi x) $. Isso está dentro do conteúdo de cálculo de derivadas parciais, onde precisamos derivar a função em relação a cada uma das variáveis, mantendo a outra constante. Para resolver, vamos usar as regras de derivação de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
A função $ f(x, t) = e^{-t} \cos(\pi x) $ tem $ e^{-t} $ como uma constante quando derivamos em relação a $ x $. Então, aplicamos a regra da derivada da função cosseno:
f
Multiplicando pela constante $ e^{-t} $:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial t} $.
Aqui, $ \cos(\pi x) $ é uma constante quando derivamos em relação a $ t $. Aplicamos a regra da derivada da função exponencial:
f
Multiplicando pela constante $ \cos(\pi x) $:
t

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, t) = e^{-t} \cos(\pi x) $ são:
f(x, t) = e^-t cos(pi x)
e
partial fpartial x = -pi e^-t sin(pi x)

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