Os números triangulares são números que podem ser representados na forma de um triângulo equilátero.
-ésimo número triangular é dado por
Mostre que o conjunto dos números triangulares,
é enumerável.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos números triangulares
é enumerável, ou seja, que existe uma bijeção entre
e
. Vamos usar o fato de que o n-ésimo número triangular é dado por
.
Passo 2
Para provar que
é enumerável, definimos explicitamente a função
Se conseguirmos mostrar que
é bijetora, então
terá a mesma “tamanho” que
e, portanto, será enumerável.
Passo 3
Mostramos primeiro que
é injetora. Note que a sequência
cresce estritamente com
porque
Logo, se
, teremos
, isto é,
.
Passo 4
Agora mostramos que
é sobrejetora. Por construção, todo elemento de
é exatamente da forma
para algum
. Logo, dado qualquer
, existe
tal que
. Assim,
atinge todos os elementos de
.
Resposta
Como foi exibido uma função
que é injetora e sobrejetora, concluímos que existe uma bijeção entre
e
. Portanto, o conjunto dos números triangulares é enumerável.