Os números triangulares são números que podem ser representados na forma de um triângulo equilátero. O n-ésimo número triangular é dado por
Tn=n(n+1)2, n in N
Mostre que o conjunto dos números triangulares,
S=Tn mid n in N=1,3,6,10,15,21, ldots
é enumerável.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos números triangulares
S=Tnmid nin N=1,3,6,10,15,21,dots
é enumerável, ou seja, que existe uma bijeção entre N e S. Vamos usar o fato de que o n-ésimo número triangular é dado por Tn=tfracn(n+1)2.

Passo 2

Para provar que S é enumerável, definimos explicitamente a função
f: Nto S, f(n)=Tn=n(n+1)2
Se conseguirmos mostrar que f é bijetora, então S terá a mesma “tamanho” que N e, portanto, será enumerável.

Passo 3

Mostramos primeiro que f é injetora. Note que a sequência Tn cresce estritamente com n porque
Tn+1-Tn=(n+1)(n+2)2-n(n+1)2=(n+1)(n+2-n)2=(n+1)2>0
Logo, se mneq n, teremos Tmneq Tn, isto é, f(m)neq f(n).

Passo 4

Agora mostramos que f é sobrejetora. Por construção, todo elemento de S é exatamente da forma Tn para algum nin N. Logo, dado qualquer sin S, existe n tal que s=f(n). Assim, f atinge todos os elementos de S.

Resposta

Como foi exibido uma função f: Nto S que é injetora e sobrejetora, concluímos que existe uma bijeção entre N e S. Portanto, o conjunto dos números triangulares é enumerável.

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