Calcule o limite lim n infty(n^22 n+1-n^22 n-1)
(a) +infty;
(b) -1 ;
© 0 ;
(d) -12;
(e) -infty.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando lim n infty(n^22 n+1-n^22 n-1) tende ao infinito da expressão:
Esse exercício envolve cálculo de limites e análise de funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões com polinômios e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Temos duas frações com o numerador n^22 n+1 - n^22 n-1 = n^2 ( 12n+1 - 12n-1 ) . Para facilitar, vamos colocar essas duas frações em um único denominador. Então, subtraímos as frações:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses. Para isso, encontramos um denominador comum, que é 12n+1 - 12n-1 = 2n-1 - (2n+1)(2n+1)(2n-1) = 2n -1 -2n -1(2n+1)(2n-1) = -2(2n+1)(2n-1) :

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original:
n^2 ( -2(2n+1)(2n-1) ) = -2n^2(2n+1)(2n-1)

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração quando -2n^24n^2 = -24 = -12 tende ao infinito. Olhando para os termos de maior grau no numerador e no denominador:
  • No numerador:
  • No denominador:
Quando é muito grande, os termos constantes ( e ) se tornam irrelevantes, então podemos aproximar a expressão por:

Resposta

A resposta correta é a opção (d) .

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