Calcule as integrais que seguem (escolha apenas 6)
b) integral sen^4(3 x) cos (3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de sin^4(3x) cos(3x) , dx. Isso envolve conhecimento de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição para integrar funções trigonométricas com potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma integral que combina potências de senos e cossenos, a substituição pode facilitar bastante. Aqui, percebemos que a derivada de sin(3x) é 3cos(3x), e a gente tem um cos(3x) na integral. Isso é um bom sinal para usar substituição!

Passo 3

Vamos fazer a seguinte substituição:
u = sin(3x)
Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = 3cos(3x) Rightarrow du = 3cos(3x) , dx
Isso nos dá:
cos(3x) , dx = du3

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, temos:
integral sin^4(3x) cos(3x) , dx = integral u^4 cdot du3 = 13 integral u^4 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^4 em relação a u:
integral u^4 , du = u^55 + C
Portanto:
13 integral u^4 , du = 13 cdot u^55 + C = u^515 + C

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta para termos em função de x:
u^515 + C = sin^5(3x)15 + C

Resposta

115 sin^5(3x) + C

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