Calcule o limite \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\left(5^{x}-25\right)^{2}}{\left(6^{x}-2\right)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o seguinte limite:
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\left(5^{x}-25\right)^{2}}{\left(6^{x}-2\right)^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão da função cujo limite queremos: \displaystyle \frac{\left(5^{x}-25\right)^{2}}{\left(6^{x}-2\right)^{2}}.
  • O ponto onde tomamos o limite: x\rightarrow 2.
  • Não há outras condições ou parâmetros a inserir.

Passo 2

Vamos avaliar a parte do numerador quando x=2. Calculamos 5^{2} e subtraímos 25:
5^{2}=25,
5^{2}-25=25-25=0.
Aqui determinamos que a expressão interna do quadrado no numerador vale 0 quando x=2.

Passo 3

Agora avaliamos a parte do denominador quando x=2. Calculamos 6^{2} e subtraímos 2:
6^{2}=36,
6^{2}-2=36-2=34.
Portanto a expressão interna do quadrado no denominador vale 34 quando x=2.

Passo 4

Elevamos ao quadrado as quantidades obtidas no Passo 2 e no Passo 3:
\left(5^{2}-25\right)^{2}=0^{2}=0,
\left(6^{2}-2\right)^{2}=34^{2}.
Calculando 34^{2} de forma explícita:
34^{2}=(30+4)^{2}=30^{2}+2\cdot30\cdot4+4^{2}=900+240+16=1156.

Passo 5

Formamos a fração com os valores encontrados:
\frac{\left(5^{2}-25\right)^{2}}{\left(6^{2}-2\right)^{2}}=\frac{0}{1156}.
Regra básica de frações: se o numerador é 0 e o denominador é diferente de 0, a fração vale 0. Além disso, justificativa pela propriedade de continuidade: as funções x\mapsto 5^{x} e x\mapsto 6^{x} são contínuas em todo \mathbb{R}, logo podemos simplesmente substituir x=2 no numerador e denominador; como o denominador resultante é \neq 0, o limite coincide com o valor da razão naquele ponto.

Resposta

0

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