Use o Teste da Comparação - Comparação dos limites para determinar se a série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{3^{n}+2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{3^{n}+2}
converge ou diverge, usando o Teste da Comparação — Comparação dos limites. As informações dadas são: o termo geral é \frac{5}{3^{n}+2} para n\ge 1. Não há outras condições ocultas; a série tem termos positivos para todo n.

Passo 2

Escolhemos uma série de comparação adequada. Como o termo tem um 3^{n} dominante no denominador, faz sentido comparar com uma série geométrica com razão \frac{1}{3}. Definimos a série de comparação com termo
b_n=\frac{5}{3^{n}}.
Explicação intuitiva: para n grande, 3^{n}+2 comporta-se como 3^{n}, então \frac{5}{3^{n}+2} deve ter comportamento semelhante a \frac{5}{3^{n}}.

Passo 3

Verificamos as hipóteses do Teste da Comparação por limites. Primeiro, ambos os termos são positivos para todo n:
a_n=\frac{5}{3^{n}+2}>0,\qquad b_n=\frac{5}{3^{n}}>0.
Isso é necessário porque o Teste da Comparação por limites é aplicado tipicamente a séries de termos não negativos.

Passo 4

Calculamos o limite do quociente dos termos:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{5}{3^{n}+2}}{\dfrac{5}{3^{n}}}.
Aqui vamos simplificar a fração antes de passar ao limite.

Passo 5

Simplificamos o quociente cancelando o fator comum \,5:
\frac{a_n}{b_n} = \frac{5}{3^{n}+2}\cdot\frac{3^{n}}{5} = \frac{3^{n}}{3^{n}+2}.
Agora calculamos o limite desse termo quando n\to\infty.

Passo 6

Para avaliar
\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n}}{3^{n}+2},
dividimos numerador e denominador por 3^{n}:
\frac{3^{n}}{3^{n}+2}=\frac{1}{1+\dfrac{2}{3^{n}}}.
Como \dfrac{2}{3^{n}}\to 0 quando n\to\infty, obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n}}{3^{n}+2}=\frac{1}{1+0}=1.

Passo 7

Aplicamos o enunciado do Teste da Comparação por limites (explicação didática): se (a_n) e (b_n) são sequências de termos positivos e
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L
com 0<L<\infty (isto é, limite finito e estritamente positivo), então as séries \sum a_n e \sum b_n são simultaneamente convergentes ou divergentes. Aqui encontramos L=1, que é finito e positivo, portanto ambas têm o mesmo comportamento.

Passo 8

Agora mostramos que a série comparadora \sum b_n converge. Note que
b_n=\frac{5}{3^{n}}=5\left(\frac{1}{3}\right)^{n}.
Isto é uma série geométrica de razão r=\dfrac{1}{3}. Lembrete prático sobre séries geométricas: a série \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge se, e somente se, |r|<1; seu somatório é \dfrac{r}{1-r} quando começa em n=1. Aqui |r|=\dfrac{1}{3}<1, então a série converge. Podemos até calcular a soma:
\sum_{n=1}^{\infty} b_n =5\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n} =5\cdot\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}} =5\cdot\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}} =5\cdot\frac{1}{2} =\frac{5}{2},
que é finita.

Passo 9

Como \sum b_n converge e o limite \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=1 é finito e positivo, pelo Teste da Comparação por limites concluímos que a série original \sum a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{5}{3^{n}+2} também converge.

Resposta

A série converge.

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