Use o Teste da Comparação - Comparação dos limites para determinar se a série converge ou diverge
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge, usando o Teste da Comparação — Comparação dos limites. As informações dadas são: o termo geral é
para
. Não há outras condições ocultas; a série tem termos positivos para todo
.
Passo 2
Escolhemos uma série de comparação adequada. Como o termo tem um
dominante no denominador, faz sentido comparar com uma série geométrica com razão
. Definimos a série de comparação com termo
Explicação intuitiva: para
grande,
comporta-se como
, então
deve ter comportamento semelhante a
.
Passo 3
Verificamos as hipóteses do Teste da Comparação por limites. Primeiro, ambos os termos são positivos para todo
:
Isso é necessário porque o Teste da Comparação por limites é aplicado tipicamente a séries de termos não negativos.
Passo 4
Calculamos o limite do quociente dos termos:
Aqui vamos simplificar a fração antes de passar ao limite.
Passo 5
Simplificamos o quociente cancelando o fator comum
:
Agora calculamos o limite desse termo quando
.
Passo 6
Para avaliar
dividimos numerador e denominador por
:
Como
quando
, obtemos
Passo 7
Aplicamos o enunciado do Teste da Comparação por limites (explicação didática): se
e
são sequências de termos positivos e
com
(isto é, limite finito e estritamente positivo), então as séries
e
são simultaneamente convergentes ou divergentes. Aqui encontramos
, que é finito e positivo, portanto ambas têm o mesmo comportamento.
Passo 8
Agora mostramos que a série comparadora
converge. Note que
Isto é uma série geométrica de razão
. Lembrete prático sobre séries geométricas: a série
converge se, e somente se,
; seu somatório é
quando começa em
. Aqui
, então a série converge. Podemos até calcular a soma:
que é finita.
Passo 9
Como
converge e o limite
é finito e positivo, pelo Teste da Comparação por limites concluímos que a série original
também converge.
Resposta
A série converge.