Calcule o limite.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
cresce sem bound:
Informações dadas:
- O numerador é a constante
. - O denominador é
, que depende de . - A variável
tende para (ou seja, cresce sem limite).
Passo 2
Observação inicial (intuição): conforme
fica muito grande, o termo
é irrelevante diante de
, então o denominador fica muito grande e a fração inteira tende a zero. Vamos transformar isso num cálculo formal e passo a passo.
Passo 3
Reescrevo a expressão dividindo numerador e denominador por
(isso é uma técnica padrão para limites no infinito):
Expliquei o que fiz: dividi cima e baixo por
, então o numerador virou
e o denom. virou
.
Passo 4
Agora uso limites simples conhecidos:
Justificativa curta: dividir uma constante por um número que cresce sem fim produz um valor que vai para zero.
Passo 5
Como
e
, e o limite do denominador é diferente de zero, posso aplicar a propriedade do limite do quociente (se as duas limites existem e o limite do denominador é não nulo, então o limite do quociente é o quociente dos limites). Assim:
Comentário final e exemplo para fixar: o limite é
. De modo geral, se uma função racional tem grau do denominador maior que o do numerador, o limite no infinito é
. Exemplos rápidos:
,
.