Calcule o limite.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x-8}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x cresce sem bound:
\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x-8}.
Informações dadas:
  • O numerador é a constante 1.
  • O denominador é x-8, que depende de x.
  • A variável x tende para +\infty (ou seja, cresce sem limite).

Passo 2

Observação inicial (intuição): conforme x fica muito grande, o termo -8 é irrelevante diante de x, então o denominador fica muito grande e a fração inteira tende a zero. Vamos transformar isso num cálculo formal e passo a passo.

Passo 3

Reescrevo a expressão dividindo numerador e denominador por x (isso é uma técnica padrão para limites no infinito):
\frac{1}{x-8}=\frac{\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{8}{x}}.
Expliquei o que fiz: dividi cima e baixo por x, então o numerador virou \dfrac{1}{x} e o denom. virou 1-\dfrac{8}{x}.

Passo 4

Agora uso limites simples conhecidos:
\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0, \qquad \lim_{x\to\infty}\dfrac{8}{x}=0.
Justificativa curta: dividir uma constante por um número que cresce sem fim produz um valor que vai para zero.

Passo 5

Como \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0 e \lim_{x\to\infty}\left(1-\dfrac{8}{x}\right)=1-0=1, e o limite do denominador é diferente de zero, posso aplicar a propriedade do limite do quociente (se as duas limites existem e o limite do denominador é não nulo, então o limite do quociente é o quociente dos limites). Assim:
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x-8} =\frac{0}{1}=0.
Comentário final e exemplo para fixar: o limite é 0. De modo geral, se uma função racional tem grau do denominador maior que o do numerador, o limite no infinito é 0. Exemplos rápidos: \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0, \lim_{x\to\infty}\dfrac{3}{x^2+1}=0.

Resposta

0

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