\lim _{n \rightarrow \infty} n \sin \left(\frac{2}{n}\right)
◯ a. 3,45
◯ b. O limite não existe
◯ c. 1
◯ d. 1/2
◯ e. 2
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
\lim_{n \to \infty} n \sin\!\left(\frac{2}{n}\right).
Informações dadas:
A variável que cresce é n e n \to \infty.
A expressão envolve \sin de \dfrac{2}{n}.
É uma questão de limite de sequência/expressão quando n cresce indefinidamente.
Passo 2
Observação importante sobre a forma do limite. À medida que n \to \infty temos \dfrac{2}{n} \to 0. Assim o produto n \cdot \sin\!\left(\dfrac{2}{n}\right) é do tipo \infty \times 0, que é uma forma indeterminada — ou seja, não dá para concluir o valor do limite sem manipular a expressão.
Passo 3
Fazer uma substituição simples para transformar a expressão numa forma conhecida. Defina
x = \frac{2}{n}.
Então x \to 0^+ quando n \to \infty, e de x=\dfrac{2}{n} segue n=\dfrac{2}{x}. Substituindo na expressão:
n \sin\!\left(\frac{2}{n}\right) = \frac{2}{x}\,\sin(x) = 2\cdot\frac{\sin x}{x}.
Portanto o limite em n transforma-se no limite em x:
\lim_{n\to\infty} n \sin\!\left(\frac{2}{n}\right) = \lim_{x\to 0^+} 2\cdot\frac{\sin x}{x}.
Passo 4
Agora precisamos do fato clássico sobre trigonometria limite: vale
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.
Vou explicar por quê (prova via desigualdade, método do aperto/sanduíche, que é bem didático).
Para 0<x<\dfrac{\pi}{2} vale geometricamente a cadeia de desigualdades
\sin x < x < \tan x.
Como \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} e \sin x>0 nesse intervalo, dividindo a desigualdade por \sin x obtemos
1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}.
Invertendo (e mantendo as desigualdades porque todos os termos são positivos) dá
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.
Quando x \to 0 sabemos que \cos x \to 1. Pelo princípio do aperto (squeeze theorem), \dfrac{\sin x}{x} fica “entre” \cos x e 1, logo
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.
Passo 5
Aplicando esse resultado ao limite que obtivemos no Passo 3: